Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau trang 46 SBT Toán 10 Tập 1

Giải sách bài tập Toán 10 Bài 1: Hàm số và đồ thị

Bài 4 trang 46 SBT Toán 10 Tập 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=\frac{1}{-x-5}$ ;

b) f(x) = |3x – 1|.

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là: D = ℝ \ {– 5}.

+ Xét khoảng (– ∞; – 5):

Lấy hai số x₁, x₂ tùy ý thuộc (– ∞; – 5) sao cho x₁ < x₂.

Ta có:

Vì x₁, x₂ ∈ (– ∞; – 5) nên x₁ + 5 < 0 và x₂ + 5 < 0.

Lại có: x₁ < x₂ nên x₁ – x₂ < 0.

Do đó, f(x₁) – f(x₂) $=\frac{x_1-x_2}{\left(x_1+5\right)\left(x_2+5\right)}$ < 0 hay f(x₁) < f(x₂).

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; – 5). (1)

+ Xét khoảng (– 5; + ∞):

Lấy hai số x₃, x₄ tùy ý thuộc (– 5; + ∞) sao cho x₃ < x₄.

Ta có:

Vì x₃, x₄ ∈ (– 5; + ∞) nên x₃ + 5 > 0 và x₄ + 5 > 0.

Lại có: x₃ < x₄ nên x₃ – x₄ < 0.

Do đó, f(x₃) – f(x₄) $=\frac{x_3-x_4}{\left(x_3+5\right)\left(x_4+5\right)}$ < 0 hay f(x₁) < f(x₂).

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (– 5; + ∞). (2)

Từ (1) và (2) suy ra hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (– ∞; – 5) và (– 5; + ∞).

b) Với 3x – 1 ≥ 0 hay x ≥ $\frac{1}{3}$, ta có: |3x – 1| = 3x – 1.

Với 3x – 1 < 0 hay x < $\frac{1}{3}$, ta có: |3x – 1| = – (3x – 1) = – 3x + 1.

Khi đó ta có:

$f\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}3x-1khix\ge \frac{1}{3}\\ -3x+1khix<\frac{1}{3}\end{array}\right)$

Ta xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số g(x) = 3x – 1 trên khoảng $\left(\frac{1}{3};+\infty \right)$ và của hàm số h(x) = – 3x + 1 trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)$ .

+ Lấy hai số x₁, x₂ tùy ý thuộc khoảng $\left(\frac{1}{3};+\infty \right)$ sao cho x₁ < x­₂:

Ta có: f(x₁) – f(x₂) = (3x₁ – 1) – (3x₂ – 1) = 3(x₁ – x₂) < 0 (do x₁ < x₂ nên x₁ – x₂ < 0).

Suy ra f(x₁) < f(x₂).

Vậy hàm số g(x) đồng biến trên $\left(\frac{1}{3};+\infty \right)$ hay f(x) đồng biến trên $\left(\frac{1}{3};+\infty \right)$ . (1)

+ Lấy hai số x₃, x₄ tùy ý thuộc khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)$ sao cho x₃ < x₄:

Ta có: f(x₃) – f(x₄) = (– 3x₃ + 1) – (– 3x₄ + 1) = 3(x₄ – x₃) > 0 (do x₃ < x₄ nên x₄ – x₃ > 0).

Suy ra f(x₃) > f(x₄).

Vậy hàm số h(x) nghịch biến trên $\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)$ hay f(x) nghịch biến khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)$ . (2)

Từ (1) và (2) suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)$ và đồng biến trên khoảng $\left(\frac{1}{3};+\infty \right)$ .

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Bài 1 trang 45 SBT Toán 10 Tập 1: Tập xác định của các hàm số sau: a) f(x) = $\frac{4x-1}{\sqrt{2x-5}}$ ; ....

• Bài 2 trang 45 SBT Toán 10 Tập 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau: a) $f\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}{x}^{2}khix\le 2\\ x+2khix>2;\end{array}\right)$ b) f(x) = |x + 3| – 2. ....

• Bài 3 trang 46 SBT Toán 10 Tập 1: Trong kinh tế thị trường, lượng cầu và lượng cung là hai khái niệm quan trọng. Lượng cầu chỉ khả năng về số lượng sản phẩm cần mua của bên mua (người dùng), tùy theo đơn giá bán sản phẩm; còn lượng cung chỉ khả năng cung cấp số lượng sản phẩm này cho thị trường của bên bán (nhà sản xuất) cũng phụ thuộc vào đơn giá sản phẩm. Người ta khảo sát nhu cầu của thị trường đối với sản phẩm A theo đơn giá của sản phẩm này và thu được bảng sau: ....

• Bài 5 trang 46 SBT Toán 10 Tập 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số có đồ thị như sau: ....

• Bài 6 trang 47 SBT Toán 10 Tập 1: Vẽ đồ thị hàm số sau:$f\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}-x+1khix<-1\\ 1khi-1\le x<1\\ x^{2}khix\ge 1.\end{array}\right)$ ....

• Bài 7 trang 47 SBT Toán 10 Tập 1: Trong các đường biểu diễn được cho trong Hình 4, chỉ ra trường hợp không phải là đồ thị hàm số và giải thích tại sao? ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---