Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao

Giải SBT Toán 11 Cánh diều Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 11 trang 69 SBT Toán 11 Tập 1: Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng $\frac{1}{4}$  độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi h­_n là độ cao quả bóng đạt được ở lần nảy thứ n.

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (h_n).

b) Tính giới hạn của dãy số (h_n) và nêu ý nghĩa giới hạn của dãy số (h_n).

c) Gọi S_n là tổng độ dài quãng đường đi được của quả bóng từ lúc bắt đầu thả quả bóng đến khi quả bóng chạm đất lần thứ n. Tính S_n, nếu quá trình này cứ tiếp tục diễn ra mãi thì tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Theo đề bài ta có, $h_n=\frac{1}{4}{h}_{n-1}$  nên (h_n) là một cấp số nhân với h₁ = $\frac{1}{4}.100=25$  và công bội $q=\frac{1}{4}$ .

Suy ra số hạng tổng quát của dãy số (h_n): $h_n=u_1{q}^{n-1}=25.{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}=\frac{100}{4^n}$ .

b) Ta có: limh_n = $\lim \frac{100}{4^n}=\lim \left(100.\frac{1}{4^n}\right)=\lim 100.\lim {\left(\frac{1}{4}\right)}^n=100.0=0$ .

Từ giới hạn đó, ta rút ra được ý nghĩa: Khi n càng dần tới vô cực thì độ cao của quả bóng đạt được sau khi nảy ngày càng nhỏ và độ cao đó dần tới 0.

c) Ta có: $S_n=100+2\left(\frac{100}{4}+\frac{100}{4^2}+\frac{100}{4^3}+\mathrm{...}+\frac{100}{4^n}\right)$ .

Nếu quá trình bóng nảy cứ tiếp tục diễn ra mãi, tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là: $\lim S_n=100+2\left(\frac{100}{4}+\frac{100}{4^2}+\frac{100}{4^3}+\mathrm{...}+\frac{100}{4^n}+\mathrm{...}\right)$ .

Vì $\frac{100}{4};\frac{100}{4^2};\frac{100}{4^3};\mathrm{...};\frac{100}{4^n};\mathrm{...}$  lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1=\frac{100}{4}$  và công bội $q=\frac{1}{4}<1$  nên ta có $\lim S_n=100+2.\frac{\frac{100}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{500}{3}$ .

Vậy tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là $\frac{500}{3}$  m.

Lời giải SBT Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số hay khác:

• Bài 1 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là sai? ....

• Bài 2 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Cho limu_n = a, lim v_n = b. Phát biểu nào sau đây là sai? ....

• Bài 3 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu limu_n = C và limv_n = +∞ (hoặc limv_n = −∞) thì $\lim \frac{u_n}{v_n}$  bằng: ....

• Bài 4 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là sai? ....

• Bài 5 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là đúng? ....

• Bài 6 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng $\lim \frac{{\left(-1\right)}^n}{n^2}=0$ . ....

• Bài 7 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số (u_n), (v_n) với $u_n=3-\frac{4}{n+1}$ , $v_n=8-\frac{5}{3n^2+2}$ . Tính: ....

• Bài 8 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau: ....

• Bài 9 trang 69 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau: ....

• Bài 10 trang 69 SBT Toán 11 Tập 1: a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u­_n) với $u_1=\frac{5}{4},q=-\frac{1}{3}$ . ....

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

• SBT Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục

• SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 3

• SBT Toán 11 Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

• SBT Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian

Săn SALE shopee Tết:

• Mỹ phẩm SACE LADY giảm tới 200k
• SRM Simple tặng tẩy trang 50k
• Combo Dầu Gội, Dầu Xả TRESEMME 80k

---