Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, K, L lần lượt là trọng tâm

Giải SBT Toán 11 Cánh diều Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian

Bài 18 trang 100 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, K, L lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCD, SAD.

Quảng cáo

a) Chứng minh rằng bốn điểm I, J, K, L đồng phẳng và tứ giác IJKL là hình bình hành.

b) Chứng minh rằng JL // CD.

c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IJKL) và (SCD).

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, K, L lần lượt là trọng tâm

a) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

Do MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // AC và MN = $\frac{1}{2}$ AC.

Tương tự ta có QP là đường trung bình của tam giác ACD nên QP // AC và QP = $\frac{1}{2}$ AC.

Suy ra MN // QP và MN = QP. (1)

Lại có I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SBC nên $\frac{S I}{S M} = \frac{S J}{S N} = \frac{2}{3}$ .

Suy ra IJ // MN và $\frac{I J}{M N} = \frac{2}{3}$ . (2)

Tương tự, ta có LK // QP và $\frac{L K}{Q P} = \frac{2}{3}$ . (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra IJ // LK và IJ = LK.

Vậy bốn điểm I, J, K, L đồng phẳng và tứ giác IJKL là hình bình hành.

b) Vì J, L lần lượt là trọng tâm của các tam giác SBC, SAD nên $\frac{S J}{S N} = \frac{S L}{S Q} = \frac{2}{3}$ .

Suy ra JL // NQ.

Trong hình bình hành ABCD ta có NQ // CD (do N và Q lần lượt là trung điểm của BC và AD).

Do đó, JL // CD.

c) Hai mặt phẳng (IJKL) và (SCD) có điểm chung là K và lần lượt chứa hai đường thẳng JL và CD song song với nhau nên giao tuyến của hai mặt phẳng (IJKL) và (SCD) là đường thẳng d đi qua K và song song với CD.

Quảng cáo

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian hay khác: