Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: tan A + tan B + tan C = tan A . tan B . tan C

Giải SBT Toán 11 Cánh diều Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

Bài 29 trang 16 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:

a) tan A + tan B + tan C = tan A . tan B . tan C (với điều kiện tam giác ABC không vuông);

b) $\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{B}{2}.\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{C}{2}.\tan \frac{A}{2}=1$ .

Lời giải:

a) Vì tam giác ABC không vuông nên A, B, C khác $\frac{\pi }{2}$ , do đó tan A, tan B, tan C xác định.

Do A + B + C = π nên A + B = π – C, do đó tan(A + B) = tan(π – C) = tan(– C) = – tanC.

Mà $\tan \left(A+B\right)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$ .

Khi đó $\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}=-\tan C$

⇔ tan A + tan B = – tan C . (1 – tan A . tan B)

⇔ tan A + tan B = – tan C + tan A . tan B . tan C

⇔ tan A + tan B + tan C = tan A . tan B . tan C.

b) Ta có $\frac{A+B+C}{2}=\frac{\pi }{2}$ , suy ra $\frac{A}{2}+\frac{B}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2}$  nên $\tan \left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)=\cot \frac{C}{2}$

$\iff \frac{\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}}{1-\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}}=\frac{1}{\tan \frac{C}{2}}$

$\iff \left(\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}\right)\tan \frac{C}{2}=1-\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}$

$\iff \tan \frac{A}{2}.\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{B}{2}.\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}=1$

$\iff \tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{B}{2}.\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{C}{2}.\tan \frac{A}{2}=1$.

Lời giải SBT Toán 11 Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác hay khác:

• Bài 15 trang 14 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hai góc a và b với tan a = $\frac{1}{7}$  và tanb = $\frac{3}{4}.$  Khi đó, tan(a + b) bằng: ....

• Bài 16 trang 14 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$  với $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$  thì giá trị của $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)$  bằng: ....

• Bài 17 trang 14 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu $\sin \alpha =\frac{2}{3}$  thì giá trị của biểu thức $P=\left(1-3\cos 2\alpha \right)\left(2+3\cos 2\alpha \right)$  bằng: ....

• Bài 18 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau: ....

• Bài 19 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Rút gọn biểu thức cos(120° – x) + cos(120° + x) – cos x ta được kết quả là: ....

• Bài 20 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu $\cos a=\frac{3}{4}$  thì giá trị của $\cos \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}$ bằng: ....

• Bài 21 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu $\cos a=\frac{\sqrt{5}}{3}$  thì giá trị của biểu thức $A=4\sin \left(a+\frac{\pi }{3}\right)\sin \left(a-\frac{\pi }{3}\right)$  bằng: ....

• Bài 22 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu $\cos a=\frac{1}{3},\sin b=\frac{-2}{3}$  thì giá trị cos(a + b) cos(a − b) bằng: ....

• Bài 23 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Giá trị của biểu thức $P=\frac{\sin \frac{\pi }{9}+\sin \frac{5\pi }{9}}{\cos \frac{\pi }{9}+\cos \frac{5\pi }{9}}$  bằng: ....

• Bài 24 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Rút gọn biểu thức $A=\frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}$  ta được kết quả là: ....

• Bài 25 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\sin a=\frac{2}{3}$ với $\frac{\pi }{2}<a<\pi$ . Tính: ....

• Bài 26 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cos a = 0,2 với π < a < 2π. Tính $\sin \frac{a}{2}$ , $\cos \frac{a}{2}$ , $\tan \frac{a}{2}$ . ....

• Bài 27 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\tan \frac{a}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ . Tính sin a, cos a, tan a. ....

• Bài 28 trang 16 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cos(a + 2b) = 2cos a. Chứng minh rằng: tan(a + b) tan b = $\frac{-1}{3}$ .   ....

• Bài 30 trang 16 SBT Toán 11 Tập 1: Trên một mảnh đất hình vuông ABCD, bác An đặt một chiếc đèn pin tại vị trí A chiếu chùm sáng phân kì ....

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị

• SBT Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

• SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 1

• SBT Toán 11 Bài 1: Dãy số

• SBT Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
• Giải SBT Toán 11 Cánh diều
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)

Săn SALE shopee Tết:

• Mỹ phẩm SACE LADY giảm tới 200k
• SRM Simple tặng tẩy trang 50k
• Combo Dầu Gội, Dầu Xả TRESEMME 80k

---