Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC), đáy là tam giác ABC

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Kết nối tri thức

Bài 7.15 trang 30 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA $\perp$ (ABC), đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, biết AB = a, SA = a$\sqrt{6}$.

a) Tính tang của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC).

b) Tính sin của góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC).

Lời giải:

a) Kẻ BH $\perp$ AC tại H, mà SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ BH nên BH $\perp$ (SAC).

Do đó SH là hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (SAC). Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) bằng góc giữa hai đường thẳng SB và SH, mà (SH,SB) = $\widehat{BSH}$.

Xét tam giác ABC vuông cân tại B, BH $\perp$ AC, ta có:

$\frac{1}{B{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{B{C}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{2}{a^2}\Rightarrow BH=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Xét tam giác ABH vuông tại H, có:

AB² = BH² + AH² $\iff$a² = ${\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2$+AH² $\iff$AH² = $\frac{a^2}{2}$.

Vì SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ AC.

Xét tam giác SAH vuông tại A, có

SA² + AH² = SH² $\iff$(a$\sqrt{6}$)² + $\frac{a^2}{2}$ = SH² $\iff$SH = $\frac{a\sqrt{26}}{2}$.

Vì BH $\perp$ (SAC) nên BH $\perp$ SH.

Xét tam giác SHB vuông tại H, có tan$\widehat{BSH}$ = $\frac{HB}{SH}$ = $\frac{\sqrt{13}}{13}$.

Vậy tang của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) là $\frac{\sqrt{13}}{13}$ .

b) Kẻ AK $\perp$ SB tại K.

Có SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ BC mà tam giác ABC vuông tại B nên BC $\perp$ AB.

Do đó BC $\perp$ (SAB) nên BC$\perp$ AK , suy ra AK $\perp$ (SBC).

Do đó CK là hình chiếu vuông góc của AC trên (SBC), suy ra góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC) bằng góc giữa hai đường thẳng AC và CK, mà (AC,CK) = $\widehat{ACK}$.

Xét tam giác SAB vuông tại A, AK $\perp$ SB, có:

SB = $\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=a\sqrt{7}$;

SA.AB = SB.AK $\Rightarrow$AK = $\frac{SA.AB}{SB}$ = a$\sqrt{\frac{6}{7}}$.

Do tam giác ABC vuông cân tại B nên AC = $\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=a\sqrt{2}$ .

Vì AK $\perp$ (SBC) nên AK $\perp$ CK.

Xét tam giác ACK vuông tại K, có sin$\widehat{ACK}=\frac{AK}{AC}=\sqrt{\frac{3}{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$.

Vậy sin của góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC) là $\frac{\sqrt{21}}{7}$ .

Lời giải SBT Toán 11 Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng hay khác:

• Bài 7.13 trang 30 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a. Tính côsin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) ....

• Bài 7.14 trang 30 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA $\perp$ (ABCD), SA = a$\sqrt{2}$ ....

• Bài 7.16 trang 31 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và AA' = a$\sqrt{2}$, hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (A'B'C'D') trùng với trung điểm của B'D' ....

• Bài 7.17 trang 31 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và các cạnh đều bằng a ....

• Bài 7.18 trang 31 SBT Toán 11 Tập 2: Một con diều được thả với dây căng, tạo với mặt đất một góc 60°. Đoạn dây diều (từ đầu ở mặt đất đến đầu ở con diều) dài 10 m ....

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc

• SBT Toán 11 Bài 26: Khoảng cách

• SBT Toán 11 Bài 27: Thể tích

• SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 7

• SBT Toán 11 Bài 28: Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

Săn SALE shopee Tết:

• Mỹ phẩm SACE LADY giảm tới 200k
• SRM Simple tặng tẩy trang 50k
• Combo Dầu Gội, Dầu Xả TRESEMME 80k

---