Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Kết nối tri thức

Bài 7.17 trang 31 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và các cạnh đều bằng a.

a) Chứng minh rằng SO $\perp$ (ABCD).

b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).

c) Gọi M là trung điểm của cạnh SC và $\alpha$ là góc giữa đường thẳng OM và mặt phẳng (SBC). Tính sin$\alpha$.

Lời giải:

a) Có O là trung điểm của AC, BD.

Vì SA = SC nên tam giác SAC là tam giác cân mà SO là trung tuyến nên SO là đường cao hay SO $\perp$ AC.

Tương tự SO $\perp$ BD. Do đó SO $\perp$ (ABCD).

b) Vì SO $\perp$ (ABCD) nên SO $\perp$ AO.

Lại có AO $\perp$ BD (do ABCD là hình vuông). Do đó AO $\perp$ (SBD).

Suy ra SO là hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng (SBD). Do đó góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) bằng góc giữa hai đường thẳng SA và SO.

Mà (SA,SO) = $\widehat{ASO}$.

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC² = AB² + BC² = a² + a² = 2a².

Có SA² + SC² = a² + a² = 2a², suy ra AC² = SA² + SC². Do đó tam giác ASC vuông tại S mà SA = SC nên tam giác ASC vuông cân tại S.

Xét tam giác vuông cân ASC tại S có SO là đường cao nên SO là phân giác. Do đó $\widehat{ASO}$ = 45^o .

Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) bằng 45°.

c) Kẻ OK $\perp$ BC tại K, OH $\perp$ SK tại H.

Có BC $\perp$ OK (cách vẽ), BC $\perp$ SO (SO $\perp$ (ABCD)). Do đó BC $\perp$ (SOK), suy ra BC $\perp$ OH mà OH $\perp$ SK nên OH $\perp$ (SBC).

Suy ra, HM là hình chiếu vuông góc của OM trên mặt phẳng (SBC), do đó góc giữa đường thẳng OM và mặt phẳng (SBC) bằng góc giữa hai đường thẳng OM và MH, mà (OM,MH) = $\widehat{OMH}=\alpha$.

Do tam giác SOC vuông tại O, OM là trung tuyến nên OM = $\frac{SC}{2}=\frac{a}{2}$.

Xét tam giác ABC có OK là đường trung bình nên OK = $\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$.

Xét tam giác SAC vuông tại S, có $\frac{1}{S{O}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{S{C}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}\Rightarrow SO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Xét tam giác SOK vuông tại O, có $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{S{O}^2}+\frac{1}{O{K}^2}=\frac{4}{2a^2}+\frac{4}{a^2}\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{6}}{6}$ .

Xét tam giác OHM vuông tại H, có sin$\alpha$ = sin$\widehat{OMH}=\frac{OH}{OM}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Vậy sin$\alpha$ = $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Lời giải SBT Toán 11 Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng hay khác:

• Bài 7.13 trang 30 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a. Tính côsin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) ....

• Bài 7.14 trang 30 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA $\perp$ (ABCD), SA = a$\sqrt{2}$ ....

• Bài 7.15 trang 30 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA $\perp$ (ABC), đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, biết AB = a, SA = a$\sqrt{6}$ ....

• Bài 7.16 trang 31 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và AA' = a$\sqrt{2}$, hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (A'B'C'D') trùng với trung điểm của B'D' ....

• Bài 7.18 trang 31 SBT Toán 11 Tập 2: Một con diều được thả với dây căng, tạo với mặt đất một góc 60°. Đoạn dây diều (từ đầu ở mặt đất đến đầu ở con diều) dài 10 m ....

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc

• SBT Toán 11 Bài 26: Khoảng cách

• SBT Toán 11 Bài 27: Thể tích

• SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 7

• SBT Toán 11 Bài 28: Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

Săn SALE shopee Tết:

• Mỹ phẩm SACE LADY giảm tới 200k
• SRM Simple tặng tẩy trang 50k
• Combo Dầu Gội, Dầu Xả TRESEMME 80k

---