Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh bằng a

SBT Toán 11 Kết nối tri thức Bài 26: Khoảng cách

Bài 7.28 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh bằng a, SA $⊥$ (ABC) và SA = 2a. Tính theo a khoảng cách:

a) Từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).

b) Từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

c) Giữa hai đường thẳng AB và SC.

Quảng cáo

Lời giải:

a) Kẻ BH $⊥$ AC tại H.

Vì SA $⊥$ (ABC) nên SA $⊥$ BH mà BH $⊥$ AC. Suy ra, BH $⊥$ (SAC).

Vì ABC là tam giác đều cạnh a có BH là đường cao nên BH = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Do đó d(B, (SAC)) = BH = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

b) Kẻ AM $⊥$ BC tại M, AK $⊥$ SM tại K

Do SA $⊥$ (ABC) nên SA $⊥$ BC mà AM $⊥$ BC nên BC $⊥$ (SAM), suy ra BC $⊥$ AK.

Vì AK $⊥$ SM và BC $⊥$ AK thì AK $⊥$ (SBC).

Suy ra d(A, (SBC)) = AK.

Tam giác ABC đều cạnh bằng a có AM là đường cao nên AM = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Vì SA $⊥$ (ABC) nên SA $⊥$ AM.

Xét tam giác SAM vuông tại A, có $\frac{1}{A K^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A M^{2}} = \frac{1}{4 a^{2}} + \frac{4}{3 a^{2}} = \frac{19}{12 a^{2}}$ $\Rightarrow$ AK = 2a $\sqrt{\frac{3}{19}}$ . Vậy d(A, (SBC)) = 2a $\sqrt{\frac{3}{19}}$ .

c) Dựng hình bình hành ABCD thì AB // CD nên AB // (SCD) và mặt phẳng (SCD) chứa SC nên d(AB, SC) = d(AB, (SCD)). Mà d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD)).

Kẻ AN $⊥$ DC tại N, kẻ AQ $⊥$ SN tại Q

Vì ADC là tam giác đều, AN là đường cao nên AN = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Vì SA $⊥$ (ABC) nên SA $⊥$ (ABCD), suy ra SA $⊥$ DC mà AN $⊥$ DC nên DC $⊥$ (SAN).

Vì DC $⊥$ (SAN) nên DC $⊥$ AQ mà AQ $⊥$ SN nên AQ $⊥$ (SDC).

Khi đó d(A, (SCD)) = AQ.

Xét tam giác SAN vuông tại A, có $\frac{1}{A Q^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} = \frac{1}{4 a^{2}} + \frac{4}{3 a^{2}} = \frac{19}{12 a^{2}}$
$\Rightarrow A Q = 2 a \sqrt{\frac{3}{19}}$ . Vậy d(AB, SC) = $2 a \sqrt{\frac{3}{19}}$ .