Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC bằng 60 độ

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 26: Khoảng cách - Kết nối tri thức

Bài 7.29 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC bằng 60°, biết tam giác SBC đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính theo a khoảng cách:

a) Từ điểm S đến mặt phẳng (ABC).

b) Từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).

c) Giữa hai đường thẳng AB và SC.

Lời giải:

a) Kẻ SH $\perp$ BC tại H. Do (SBC) $\perp$ (ABC) và (SBC) $\cap$ (ABC) = BC nên SH $\perp$ (ABC). Suy ra d(S, (ABC)) = SH.

Vì tam giác SBC là tam giác đều cạnh a, SH là đường cao nên SH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vậy d(S, (ABC)) = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

b) Do tam giác SBC đều và SH $\perp$ BC nên SH đồng thời là trung tuyến hay H là trung điểm của BC.

Kẻ HK $\perp$ CA tại K mà SH $\perp$ AC (do SH $\perp$ (ABC)). Suy ra AC $\perp$ (SHK).

Kẻ HQ $\perp$ SK tại Q mà AC $\perp$ HQ (do AC $\perp$ (SHK)). Do đó HQ $\perp$ (SAC).

Khi đó d(H, (SAC)) = HQ.

Xét tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = BC . cos 60° = $\frac{a}{2}$.

Xét tam giác ABC vuông tại A, có HK // AB (vì cùng vuông góc với AC) mà H là trung điểm của BC nên K là trung điểm của AC. Do đó HK là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra HK = $\frac{AB}{2}=\frac{a}{4}$.

Xét tam giác SHK vuông tại H, có $\frac{1}{H{Q}^2}=\frac{1}{S{H}^2}+\frac{1}{H{K}^2}=\frac{4}{3a^2}+\frac{16}{a^2}=\frac{52}{3a^2}$.

$\Rightarrow HQ=\frac{\sqrt{39}a}{26}$.

Lại có H là trung điểm của BC nên d(B, (SAC)) = 2 . d(H, (SAC)) = 2HQ = $\frac{\sqrt{39}a}{13}$.

c) Dựng hình bình hành ABMC mà $\hat{A}=90°$ nên ABMC là hình chữ nhật.

Do ABMC là hình chữ nhật nên AB // MC.

Khi đó AB // (SCM) và mặt phẳng (SCM) chứa SC nên

d(AB, SC) = d(AB, (SCM)) = d(B, (SCM)) = 2d(H, (SCM)).

Kẻ HN $\perp$ CM tại N.

Vì SH $\perp$ (ABC) nên SH $\perp$ (ABMC), suy ra SH $\perp$ MC.

Vì SH $\perp$ MC và HN $\perp$ CM nên CM $\perp$ (SHN).

Kẻ HE $\perp$ SN tại E.

Vì CM $\perp$ (SHN) nên CM $\perp$ HE mà HE $\perp$ SN nên HE $\perp$ (SCM).

Suy ra d(H, (SCM)) = HE.

Xét tam giác vuông ABC vuông tại A, có AC = BC . sin 60° = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Xét tam giác BCM có HN là đường trung bình nên HN = $\frac{BM}{2}=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$.

Xét tam giác SHN vuông tại H, có $\frac{1}{H{E}^2}=\frac{1}{S{H}^2}+\frac{1}{H{N}^2}=\frac{4}{3a^2}+\frac{16}{3a^2}=\frac{20}{3a^2}$

$\Rightarrow HE=\frac{\sqrt{15}a}{10}$.

Vậy d(AB, SC) = 2HE $=\frac{\sqrt{15}a}{5}$.

Lời giải SBT Toán 11 Bài 26: Khoảng cách hay khác:

• Bài 7.27 trang 37 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính theo a khoảng cách ....

• Bài 7.28 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh bằng a, SA $\perp$ (ABC) và SA = 2a. Tính theo a khoảng cách ....

• Bài 7.30 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = a$\sqrt{2}$, AA' = a$\sqrt{3}$. Tính theo a khoảng cách ....

• Bài 7.31 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB = AC = AA' = a ....

• Bài 7.32 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Trên một mái nhà nghiêng 30° so với mặt phẳng nằm ngang, người ta dựng một chiếc cột vuông góc với mái nhà ....

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 11 Bài 27: Thể tích

• SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 7

• SBT Toán 11 Bài 28: Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

• SBT Toán 11 Bài 29: Công thức cộng xác suất

• SBT Toán 11 Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Săn SALE shopee Tết:

• Mỹ phẩm SACE LADY giảm tới 200k
• SRM Simple tặng tẩy trang 50k
• Combo Dầu Gội, Dầu Xả TRESEMME 80k

---