Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = acăn2

SBT Toán 11 Kết nối tri thức Bài 26: Khoảng cách

Bài 7.30 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = a$\sqrt{2}$, AA' = a$\sqrt{3}$. Tính theo a khoảng cách:

a) Từ điểm A đến mặt phẳng (BDD'B').

b) Giữa hai đường thẳng BD và CD'.

Lời giải:

a) Kẻ AH $\perp$ BD tại H.

Do D'D $\perp$ (ABCD) nên D'D $\perp$ AH mà AH $\perp$ BD, suy ra AH $\perp$ (BDD'B').

Suy ra d(A, (BDD'B')) = AH.

Xét tam giác ADB vuông tại A, có $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{D}^2}+\frac{1}{A{B}^2}=\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{3}{2a^2}$

$\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Vậy d(A, (BDD'B')) = $\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

b) Có BC // A'D' và BC = A'D' (do BC, A'D' cùng song song và bằng AD).

Do đó BCD'A' là hình bình hành, suy ra CD' // BA', suy ra CD' // (A'BD).

Ta có CD' // (A'BD) nên d(BD, CD') = d(CD', (A'BD)) = d(C, (A'BD)).

Do ABCD là hình chữ nhật nên AC và BD cắt nhau tại trung điểm của AC nên

d(C, (A'BD)) = d(A, (A'BD)).

Kẻ AK $\perp$ A'H tại K.

Vì AA' $\perp$ (ABCD) nên A'A $\perp$ BD mà AH $\perp$ BD nên BD $\perp$ (A'AH), suy ra BD $\perp$ AK.

Vì BD $\perp$ AK và AK $\perp$ A'H nên AK $\perp$ (A'BD). Suy ra d(A, (A'BD)) = AK.

Vì AA' $\perp$ (ABCD) nên AA' $\perp$ AH.

Xét tam giác A'AH vuông tại A, có $\frac{1}{A{K}^2}=\frac{1}{A{A^{\text{'}}}^2}+\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{3a^2}+\frac{9}{6a^2}=\frac{11}{6a^2}$

$\Rightarrow AK=\frac{a\sqrt{66}}{11}$. Vậy d(BD, CD') = $\frac{a\sqrt{66}}{11}$.

Lời giải SBT Toán 11 Bài 26: Khoảng cách hay khác:

• Bài 7.27 trang 37 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính theo a khoảng cách ....

• Bài 7.28 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh bằng a, SA $\perp$ (ABC) và SA = 2a. Tính theo a khoảng cách ....

• Bài 7.29 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC bằng 60°, biết tam giác SBC đều cạnh a ....

• Bài 7.31 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB = AC = AA' = a ....

• Bài 7.32 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Trên một mái nhà nghiêng 30° so với mặt phẳng nằm ngang, người ta dựng một chiếc cột vuông góc với mái nhà ....

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 11 Bài 27: Thể tích

• SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 7

• SBT Toán 11 Bài 28: Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

• SBT Toán 11 Bài 29: Công thức cộng xác suất

• SBT Toán 11 Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức

---