Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, biết SO vuông góc (ABCD)

SBT Toán 11 Kết nối tri thức Bài 27: Thể tích

Bài 7.37 trang 41 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, biết SO $⊥$ (ABCD), AC = 2a $\sqrt{3}$ , BD = 2a và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Quảng cáo

Lời giải:

Kẻ OM $⊥$ BC tại M mà BC $⊥$ SO (do SO $⊥$ (ABCD)) nên BC $⊥$ (SOM).

Kẻ OH $⊥$ SM tại H mà OH $⊥$ BC (do BC $⊥$ (SOM)) nên OH $⊥$ (SBC).

Suy ra d(O, (SBC)) = OH.

Do ABCD là hình thoi tâm O nên O là trung điểm của AC, do đó

d(A, (SBC)) = 2 . d(O, (SBC)) = 2 . OH = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Suy ra OH = $\frac{a \sqrt{3}}{4}$ .

Vì ABCD là hình thoi tâm O nên O là trung điểm của AC, BD nên OB = $\frac{B D}{2}$ = a;

OC = $\frac{A C}{2}$ = a $\sqrt{3}$ .

Do ABCD là hình thoi nên AC $⊥$ BD.

Xét tam giác OBC vuông tại O, OM là đường cao: ta có $\frac{1}{O M^{2}} = \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}}$

$= \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{3 a^{2}} = \frac{4}{3 a^{2}}$ $\Rightarrow O M = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Vì SO $⊥$ (ABCD) nên SO $⊥$ OM.

Xét tam giác SOM vuông tại O, OH là đường cao, ta có $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{S O^{2}} + \frac{1}{O M^{2}}$

$\Leftrightarrow \frac{16}{3 a^{2}} = \frac{1}{S O^{2}} + \frac{4}{3 a^{2}}$ $\Leftrightarrow \frac{1}{S O^{2}} = \frac{16}{3 a^{2}} - \frac{4}{3 a^{2}} = \frac{4}{a^{2}}$ $\Rightarrow S O = \frac{a}{2}$ .

Vậy $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C D} \cdot S O$ $= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .AC.BD.SO = $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 a \sqrt{3} \cdot 2 a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$ .