Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và góc AOB = 90 độ

SBT Toán 11 Kết nối tri thức Bài 27: Thể tích

Bài 7.36 trang 41 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và $\widehat{AOB}=90°$; $\widehat{BOC}=60°$; $\widehat{COA}=120°$. Tính theo a thể tích khối tứ diện OABC.

Lời giải:

Xét tam giác OAB vuông tại O, có AB = $\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}$$=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.

Xét tam giác BOC có OB = OC và $\widehat{BOC}=60°$ nên tam giác BOC là tam giác đều.

Do đó BC = a.

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác OAC có:

$A{C}^2=O{A}^2+O{C}^2$-2.OA.OC.cos$\widehat{AOC}$

= a²+a²+2.a².$\frac{1}{2}$ = 3a² $\Rightarrow A{C}^2=3a^2$$\Rightarrow AC=a\sqrt{3}$

Có $A{B}^2+B{C}^2=2a^2+a^2=3a^2$. Do đó AC² = AB² + BC².

Vì AC² = AB² + BC² nên tam giác ABC vuông tại B.

Do đó $S_{ABC}=\frac{AB\cdot BC}{2}=\frac{a\sqrt{2}\cdot a}{2}=\frac{a^2\sqrt{2}}{2}$.

Kẻ OH $\perp$ (ABC) tại H.

Vì OA = OB = OC nên HA = HB = HC.

Khi đó, H là trung điểm của AC nên AH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Xét tam giác OAH vuông tại H, có OH = $\sqrt{O{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{a^2-\frac{3a^2}{4}}=\frac{a}{2}$.

Vậy $V_{OABC}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot OH=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.

Lời giải SBT Toán 11 Bài 27: Thể tích hay khác:

• Bài 7.33 trang 41 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA $\perp$ (ABC); AB = a, AC = a$\sqrt{2}$ và $\widehat{SBA}=60°$, $\widehat{BAC}=45°$ ....

• Bài 7.34 trang 41 SBT Toán 11 Tập 2: Cho khối chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 60° ....

• Bài 7.35 trang 41 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có A'B'C' và AA'C' là hai tam giác đều cạnh a. Biết (ACC'A') $\perp$ (A'B'C') ....

• Bài 7.37 trang 41 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, biết SO $\perp$ (ABCD) ....

• Bài 7.38 trang 41 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA $\perp$ (ABC), SA = a và đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a$\sqrt{3}$. Kẻ AM vuông góc với SB tại M, AN vuông góc với SC tại N ....

• Bài 7.39 trang 41 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA $\perp$ (ABC) và $\widehat{BAC}=60°$, biết diện tích các tam giác ABC, SAB và SAC lần lượt là 3$\sqrt{3}$; 9; 12 ....

• Bài 7.40 trang 41 SBT Toán 11 Tập 2: Người ta cắt bỏ bốn hình vuông cùng kích thước ở bốn góc của một tấm tôn hình vuông có cạnh 1 m để gò lại thành một chiếc thùng có dạng hình hộp chữ nhật không nắp ....

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 7

• SBT Toán 11 Bài 28: Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

• SBT Toán 11 Bài 29: Công thức cộng xác suất

• SBT Toán 11 Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

• SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 8

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức

---