Bài 4 trang 76 Toán 11 Tập 2 Cánh diều

Trang trước Trang sau

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 7 - Cánh diều

Bài 4 trang 76 Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

Quảng cáo

a) y = 2x⁴ – 3x³ + 5x²; b) $y = \frac{2}{3 - x};$ c) y = sin2xcosx;

d) y = e^–2x+3; e) y = ln(x + 1); g) y = ln(e^x + 1).

Lời giải:

a) Xét hàm số y = 2x⁴ – 3x³ + 5x², ta có:

y' = 8x³ – 9x² + 10x;

y'' = 24x² – 18x + 10.

b) Xét hàm số $y = \frac{2}{3 - x},$ ta có:

$y^{'} = {(\frac{2}{3 - x})}^{'} = - \frac{2 \cdot {(3 - x)}^{'}}{{(3 - x)}^{2}} = - \frac{2 \cdot (- 1)}{{(3 - x)}^{2}} = \frac{2}{{(3 - x)}^{2}};$

$y^{''} = {[\frac{2}{{(3 - x)}^{2}}]}^{'} = - \frac{2 \cdot {[{(3 - x)}^{2}]}^{'}}{{(3 - x)}^{4}} = - \frac{2 \cdot 2 \cdot (3 - x) \cdot {(3 - x)}^{'}}{{(3 - x)}^{4}} = \frac{- 4 \cdot (- 1)}{{(3 - x)}^{3}} = \frac{4}{{(3 - x)}^{3}} .$

c) Xét hàm số y = sin2xcosx, ta có:

y' = (sin2xcosx)' = (sin2x)'.cosx + sin2x.(cosx)'

= 2cos2x.cosx – sin2x.sinx

$= 2 \cdot \frac{1}{2} (\cos x + \cos 3 x) - \frac{1}{2} (\cos x - \cos 3 x)$

$= \cos x + \cos 3 x - \frac{1}{2} \cos x + \frac{1}{2} \cos 3 x$

$= \frac{1}{2} \cos x + \frac{3}{2} \cos 3 x .$

${y^{'}}^{'} = {(\frac{1}{2} \cos x + \frac{3}{2} \cos 3 x)}^{'} = \frac{1}{2} (- \sin x) + \frac{3}{2} \cdot 3 \cdot (- \sin 3 x) = - \frac{1}{2} \sin x - \frac{9}{2} \sin 3 x .$

d) Xét hàm số y = e^{–2x + 3}, ta có:

y' = (e^{–2x + 3})' = (–2x + 3)' . e^{–2x + 3} = –2e^–2x+3;

y'' = (–2e^–2x+3)' = –2.(–2x + 3)'.e^–2x+3 = 4e^–2x+3.

e) Xét hàm số y = ln(x + 1), ta có:

$y^{'} = {[l n (x + 1)]}^{'} = \frac{{(x + 1)}^{'}}{x + 1} = \frac{1}{x + 1};$

${y^{'}}^{'} = {(\frac{1}{x + 1})}^{'} = - \frac{{(x + 1)}^{'}}{{(x + 1)}^{2}} = - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} .$

g) Xét hàm số y = ln(e^x + 1), ta có:

$y^{'} = {[l n (e^{x} + 1)]}^{'} = \frac{{(e^{x} + 1)}^{'}}{e^{x} + 1} = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1};$

${y^{'}}^{'} = {(\frac{e^{x}}{e^{x} + 1})}^{'} = \frac{{(e^{x})}^{'} \cdot (e^{x} + 1) - e^{x} \cdot {(e^{x} + 1)}^{'}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

$= \frac{e^{x} \cdot (e^{x} + 1) - e^{x} \cdot e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}} = \frac{e^{2 x} + e^{x} - e^{2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}} = \frac{e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}} .$