Giải Toán 11 trang 115 Tập 2 Cánh diều

Với Giải Toán 11 trang 115 Tập 2 trong Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối Toán 11 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 115.

Giải Toán 11 trang 115 Tập 2 Cánh diều

Quảng cáo

Bài 1 trang 115 Toán 11 Tập 2: Quan sát và cho biết chiếc đèn treo ở Hình 96a, trạm khảo sát trắc địa ở Hình 96b có dạng hình gì?

Bài 1 trang 115 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

Lời giải:

Quan sát Hình 96a và 96b ta thấy:

⦁ Chiếc đèn treo ở Hình 96a là hình lăng trụ lục giác đều vì có các mặt bên là hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy, mặt đáy là lục giác đều.

⦁ Trạm khảo sát trắc địa là hình chóp cụt tứ giác đều vì có hai đáy là hình vuông và nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau; mỗi mặt bên đều là hình thang cân; các đường thẳng chứa cạnh bên đều cùng đi qua một điểm.

Quảng cáo

Bài 2 trang 115 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a.

a) Chứng minh rằng các tam giác ASC và BSD là tam giác vuông cân.

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, chứng minh rằng đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

c) Chứng minh rằng góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 45°.

Lời giải:

Bài 2 trang 115 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

a) Do S.ABCD là hình chóp đều nên SA = SB = SC = SD = a.

Vì ABCD là hình vuông nên AC = BC và ABC^=90°.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B có:

AC2 = AB2 + BC2 = a2 + a2 = 2a2.

Mà AC = BD nên BD2 = AC2 = 2a2.

Quảng cáo

⦁ Xét ∆ASC có: SA2 + SC2 = a2 + a2 = 2a2 = AC2.

Nên theo định lí Pythagore đảo ta có tam giác ASC vuông tại S.

Mà SA = SC nên tam giác ASC vuông cân tại S.

⦁ Xét tam giác BSD có: SB2 + SD2 = a2 + a2 = 2a2 = BD2.

Nên theo định lí Pythagore đảo ta có tam giác BSD vuông tại S.

Mà SB = SD nên tam giác BSD vuông cân tại S.

b) Do ABCD là hình vuông và O = AC ∩ BD nên O là trung điểm của AC và BD.

Xét ∆ASC vuông cân tại S có: SO là đường trung tuyến (do O là trung điểm của AC) nên cũng đồng thời là đường cao của tam giác. Do đó SO ⊥ AC.

Xét ∆BSD vuông cân tại S có: SO là đường trung tuyến (do O là trung điểm của BD) nên cũng đồng thời là đường cao của tam giác. Do đó SO ⊥ BD.

Ta có: SO ⊥ AC, SO ⊥ BD và AC ∩ BD = O trong (ABCD).

Do đó SO ⊥ (ABCD).

c) Vì SO ⊥ (ABCD) nên OA là hình chiếu của SA trên (ABCD).

Suy ra góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng góc SAO^.

Lại có tam giác ASC là tam giác vuông cân tại S nên SAO^=45°.

Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 45°.

Quảng cáo

Bài 3 trang 115 Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (ABCD) bằng 60°.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ACC’A’) và (BDD’B’) vuông góc với nhau.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và C’D’.

Lời giải:

Bài 3 trang 115 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

a) Ta có ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ đứng nên BB’ ⊥ (ABCD).

Mà AC ⊂ (ABCD) nên BB’ ⊥ AC.

Do ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD.

Ta có: AC ⊥ BB’, AC ⊥ BD và BB’ ∩ BD = B trong (BDD’B’).

Suy ra AC ⊥ (BDD’B’).

Hơn nữa AC ⊂ (ACC’A’).

Từ đó, ta có (ACC’A’) ⊥ (BDD’B’).

b) Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ đứng nên C’D’DC là hình chữ nhật.

Do đó CD // C’D’.

Mà CD // AB (do ABCD là hình vuông) nên AB // C’D’.

Khi đó, d(AB, C’D’) = d(B, C’D’). (1)

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ đứng và đáy ABCD là hình vuông nên A’B’C’D’ cũng là hình vuông.

Do đó C’D’ ⊥ B’C’.

Ta có: C’D’ ⊥ B’C’;

           C’D’ ⊥ C’C (do C’D’DC là hình chữ nhật);

           B’C’ ∩ C’C = C’ trong (BCC’B’).

Suy ra C’D’ ⊥ (B’C’CB).

Mà BC’ ⊂ (B’C’CB) nên C’D’ ⊥ BC’.

Khi đó d(B, C’D’) = BC’. (2)

Từ (1) và (2) ta có: d(AB, C’D’) = BC’.

Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ đứng nên C’C ⊥ (ABCD).

Khi đó AC là hình chiếu của AC’ trên (ABCD).

Suy ra góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (ABCD) bằng C'AC^=60°.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B có:

AC2 = AB2 + BC2 = a2 + a2 = 2a2.

Suy ra AC=a2.

Ta có: C’C ⊥ (ABCD) và AC ⊂ (ABCD) nên C’C ⊥ AC.

Xét tam giác C’AC vuông tại C (do C’C ⊥ AC) có: tanC'AC^=C'CAC

Do đó C'C=AC.tanC'AC^=a2.tan60°=a6.

Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ đứng nên B’C’CB là hình chữ nhật.

Suy ra C’C ⊥ BC.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác C’CB vuông tại C (vì C’C ⊥ BC) có:

BC’2 = CC’2 + BC2

Suy ra BC'=CC'2+BC2=a62+a2=a7.

Do đó dAB,C'D'=BC'=a7.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và C’D’ bằng a7.

Bài 4 trang 115 Toán 11 Tập 2: Một chiếc bánh chưng có dạng khối hộp chữ nhật với kích thước ba cạnh là 15 cm, 15 cm và 6 cm. Tính thể tích của chiếc bánh chưng đó.

Lời giải:

Bài 4 trang 115 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

Thể thể tích của chiếc bánh chưng có dạng khối hộp chữ nhật với kích thước ba cạnh là 15 cm, 15 cm và 6 cm là:

V = abc = 15.15.6 = 1 350 (cm3).

Bài 5 trang 115 Toán 11 Tập 2: Một miếng pho mát có dạng khối lăng trụ đứng với chiều cao 10 cm và đáy là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 12 cm. Tính khối lượng của miếng pho mát theo đơn vị gam, biết khối lượng riêng của loại pho mát đó là 3 g/cm3.

Lời giải:

Bài 5 trang 115 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

Vì đáy của miếng pho mát là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 12 cm nên ta có diện tích đáy là: S=12.12.12=72 (cm2).

Thể tích của miếng pho mát có dạng khối lăng trụ đứng với chiều cao 10 cm và diện tích đáy 73 cm2 là:

V = Sh = 72.10 = 720 (cm3).

Khối lượng của miếng pho mát với khối lượng riêng 3 g/cm3 và thể tích 720 cm3 là:

m = 3.720 = 2 160 (g).

Bài 6 trang 115 Toán 11 Tập 2: Một loại đèn đá muối có dạng khối chóp tứ giác đều (Hình 97). Tính theo a thể tích của đèn đá muối đó, giả sử các cạnh đáy và các cạnh bên đều bằng a.

Bài 6 trang 115 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

Lời giải:

Bài 6 trang 115 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

Mô hình hóa đèn đá muối bằng hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh a.

Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông nên gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó O là trung điểm của AC, BD và AC = BD.

Suy ra OA = OB = OC = OD.

Như vậy, O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.

Do đó, O là chân đường cao của hình chóp S.ABCD hay SO ⊥ (ABCD).

Mà AC ⊂ (ABCD) nên SO ⊥ AC.

Do ABCD là hình vuông nên ABC^=90°, do đó tam giác ABC vuông tại B.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác ABC vuông tại B có:

AC2 = AB2 + BC2 = a2 + a2 = 2a2.

Suy ra AC=a2. Do đó AO=AC2=a22.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác SAO vuông tại O (do SO ⊥ AC) có:

SA2 = AO2 + SO2

Suy ra SO=SA2AO2=a2a222=a22.

Diện tích hình vuông ABCD cạnh a là: SABCD = a2 (đvdt).

Thể tích của khối chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO=a22 và diện tích đáy SABCD = a2 là:

VS.ABCD=13SABCD.SO=13.a2.a22=a326 (đvtt).

Vậy thể tích của đèn đá muối cần tìm là a326.

Bài 7 trang 115 Toán 11 Tập 2: Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều (Hình 98). Cạnh đáy dưới dài 5 m, cạnh đáy trên dài 2 m, cạnh bên dài 3 m. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1 470 000 đồng/m3. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị đồng.

Bài 7 trang 115 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

Lời giải:

Bài 7 trang 115 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

Mô hình hóa chân tháp của bài toán bằng khối chóp cụt tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’, với O, O’ lần lượt là tâm của hai đáy ABCD và A’B’C’D’.

Như vậy ta có:

⦁ ABCD là hình vuông cạnh 5 có diện tích SABCD = 52 = 25;

⦁ A’B’C’D’ là hình vuông cạnh 2 có diện tích SA’B’C’D’ = 22 = 4;

⦁ Các cạnh bên A’A, B’B, C’C, D’D có độ dài bằng 3;

⦁ OO’ vuông góc với (ABCD) và (A’B’C’D’).

Do ABCD là hình vuông nên ABC^=90°, do đó tam giác ABC vuông tại B.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B có:

AC2 = AB2 + BC2 = 52 + 52 = 50.

Suy ra AC=52.

Do đó CO=AC2=522 (do O là tâm hình vuông ABCD).

Do A’B’C’D’ là hình vuông nên A'B'C'^=90°, do đó tam giác A’B’C’ vuông tại B’.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác A’B’C’ vuông tại B’ có:

A’C’2 = A’B’2 + B’C’2 = 22 + 22 = 8.

Suy ra A'C'=22.

Do đó C'O'=A'C'2=222=2 (do O’ là tâm hình vuông A’B’C’D’).

Dễ thấy: (ABCD) ∩ (A’C’CA) = AC;

              (A’B’C’D’) ∩ (A’C’CA) = A’C’.

Mà (ABCD) // (A’B’C’D’).

Suy ra AC // A’C’ hay A’C’CA là hình thang.

Xét hình thang A’C’CA, kẻ C’H ⊥ AC (H ∈ AC).

Vì OO’ ⊥ (ABCD) và AC ⊂ (ABCD) nên OO’ ⊥ AC.

Do đó C’H // OO’ (cùng vuông góc với AC).

Mà O’C’ // OH (do A’C’ // AC)

Suy ra O’C’HO là hình bình hành.

Do đó: OO’ = C’H và OH=C'O'=2.

Suy ra HC=OCOH=5222=322.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác C’HC vuông tại H (do C’H ⊥ AC) có:

C’C2 = C’H2 + HC2

Suy ra C'H=C'C2HC2=323222=322.

Do đó OO'=C'H=322.

Thể tích khối chóp cụt tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ với chiều cao OO'=322 và diện tích hai đáy SABCD = 25, SA’B’C’D’ = 4 là:

VABCD.A'B'C'D'=13.32225+25.4+4=3922  (m3).

Như vậy ta có thể tích của chân tháp đã cho bằng 3922 (m3).

Vì chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1 470 000 đồng/m3 nên số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là:

3922.1  470  00040  538  432 (đồng).

Vậy số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp khoảng 40 538 432 đồng.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


Giải bài tập lớp 11 Cánh diều khác
Tài liệu giáo viên