Bài 7.23 trang 59 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Giải Toán 11 Bài 26: Khoảng cách - Kết nối tri thức

Bài 7.23 trang 59 Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'có AA' = a, AB = b, BC = c.

a) Tính khoảng cách giữa CC' và (BB'D'D).

b) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa AC và B'D'.

Quảng cáo

Lời giải:

Bài 7.23 trang 59 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

a) Kẻ CH $⊥$ BD tại H.

Vì BB' $⊥$ (ABCD) nên BB' $⊥$ CH mà CH $⊥$ BD nên CH $⊥$ (BB'D'D).

Vì BB'C'C là hình chữ nhật nên BB' // CC' nên CC' // (BB'D'D).

Khi đó d(CC', (BB'D'D)) = d(C, (BB'D'D)) = CH.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD = b; AD = BC = c.

Xét tam giác BCD vuông tại C, CH là đường cao nên

$\frac{1}{C H^{2}} = \frac{1}{B C^{2}} + \frac{1}{C D^{2}}$ $= \frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = \frac{b^{2} + c^{2}}{b^{2} c^{2}}$ $\Rightarrow C H = \frac{b c}{\sqrt{b^{2} + c^{2}}}$ .

Vậy d(CC', (BB'D'D)) $= \frac{b c}{\sqrt{b^{2} + c^{2}}}$ .

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, O' là giao điểm của A'C' và B'D'.

Do ABCD là hình chữ nhật nên O là trung điểm của AC, BD và A'B'C'D' là hình chữ nhật nên O' là trung điểm của A'C' và B'D'.

Có AA' // CC' và AA' = CC' (do chúng cùng song song và bằng BB’) nên AA'C'C là hình bình hành mà AA' $⊥$ (ABCD) nên AA' $⊥$ AC. Do đó AA'C'C là hình chữ nhật.

Do AA'C'C là hình chữ nhật và O là trung điểm của AC, O' là trung điểm của A'C' nên OO' $⊥$ AC và OO' = AA' = a.

Có BB' // DD' và BB' = DD' (do chúng cùng song song và bằng AA') nên BB'D'D là hình bình hành mà BB' $⊥$ (ABCD) nên BB' $⊥$ BD. Do đó BB'D'D là hình chữ nhật.

Vì BB'D'D là hình chữ nhật và O là trung điểm của BD, O' là trung điểm của B'D' nên OO' $⊥$ B'D'.

Vì OO' $⊥$ AC và OO' $⊥$ B'D' nên OO' là đường vuông góc chung của AC và B'D'.

Khi đó d(AC, B'D') = OO' = a.

Quảng cáo

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 26: Khoảng cách hay, chi tiết khác: