Bài 7.44 trang 65 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 7 - Kết nối tri thức

Bài 7.44 trang 65 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AB // CD và AB = BC = DA = a, CD = 2a. Biết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SA = a$\sqrt{2}$ . Tính theo a khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và thể tích của khối chóp S.ABCD.

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) nên SO $\perp$ (ABCD).

Khi đó d(S, (ABCD)) = SO.

Kẻ AH $\perp$ DC tại H, BK $\perp$ DC tại K.

Khi đó ABKH là hình chữ nhật nên AB = HK = a.

Xét $∆$AHD và $∆$BKC có: AD = BC = a, $\widehat{AHD}=\widehat{BKC}=90°$ , $\widehat{ADH}=\widehat{BCK}$ (do ABCD là hình thang cân).

Do đó $∆$AHD = $∆$BKC, suy ra DH = CK = $\frac{DC-HK}{2}=\frac{2a-a}{2}=\frac{a}{2}$ ;

CH = HK + CK = a+$\frac{a}{2}=\frac{3a}{2}$.

Xét tam giác AHD vuông tại H, có AH = $\sqrt{A{D}^2-D{H}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Xét tam giác AHC vuông tại H, có AC = $\sqrt{A{H}^2+H{C}^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}+\frac{9a^2}{4}}=a\sqrt{3}$.

Vì AB // CD nên $\frac{AO}{OC}=\frac{AB}{CD}\Rightarrow \frac{AO}{OC}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$$\Rightarrow AO=\frac{1}{3}AC=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ .

Xét tam giác SOA vuông tại O, có SO = $\sqrt{S{A}^2-A{O}^2}$$=\sqrt{2a^2-\frac{a^2}{3}}=\frac{a\sqrt{15}}{3}$ .

Khi đó d(S, (ABCD)) $=\frac{a\sqrt{15}}{3}$ .

Ta có $S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot \left(AB+CD\right)\cdot AH$$=\frac{1}{2}\cdot \left(a+2a\right)\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$$=\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$ .

Vậy $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SO$$=\frac{1}{3}\cdot \frac{3a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\sqrt{15}}{3}$$=\frac{a^3\sqrt{45}}{12}$$=\frac{a^3\sqrt{5}}{4}$.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 7 hay, chi tiết khác:

• Bài 7.33 trang 64 Toán 11 Tập 2: Cho các phát biểu sau 1) (P) và (Q) có giao tuyến là đường thẳng a và cùng vuông góc ....

• Bài 7.34 trang 64 Toán 11 Tập 2: Cho mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) và a là giao tuyến của (P) và (Q) ....

• Bài 7.35 trang 64 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Phát biểu nào sau đây là đúng? ....

• Bài 7.36 trang 64 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA ⊥ (ABCD) ....

• Bài 7.37 trang 64 Toán 11 Tập 2: Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng S, chiều cao bằng h là ....

• Bài 7.38 trang 65 Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a ....

• Bài 7.39 trang 65 Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cân tại A, tam giác BCD cân tại D ....

• Bài 7.40 trang 65 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a ....

• Bài 7.41 trang 65 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Biết tam giác SAD ....

• Bài 7.42 trang 65 Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có độ dài tất cả các cạnh bằng a, AA' ⊥ (ABCD) ....

• Bài 7.43 trang 65 Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D'. Biết A'.ABCD là hình chóp đều có tất cả ....

• Bài 7.45 trang 65 Toán 11 Tập 2: Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột AB có chiều dài bằng 10 m và tạo với mặt đất ....

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Toán 11 Bài 28: Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

• Toán 11 Bài 29: Công thức cộng xác suất

• Toán 11 Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

• Toán 11 Bài tập cuối chương 8

• Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---