Bài 13 trang 83 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 12 Bài tập cuối chương 2 - Cánh diều

Bài 13 trang 83 Toán 12 Tập 1: Xét hệ toạ độ Oxyz gắn với hình lập phương ABCD.A'B'C'D' như Hình 39, đơn vị của mỗi trục bằng độ dài cạnh hình lập phương. Biết A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A'(0; 0; 1).

a) Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'.

b) Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác A'BD.

c) Xác định toạ độ các vectơ $\overrightarrow{OG}$ và $\overrightarrow{O{C}^{\text{'}}}$. Chứng minh rằng ba điểm O, G, C' thẳng hàng và OG = $\frac{1}{3}$OC'.

Lời giải:

a) Ta có điểm C thuộc mặt phẳng (Oxy) nên cao độ của điểm C bằng 0.

Lại có CB ⊥ Ox tại B nên hoành độ của điểm C là 1, CD ⊥ Oy tại D nên tung độ của điểm C là 1. Vậy C(1; 1; 0).

Tương tự như vậy, ta xác định được B'(1; 0; 1) và D'(0; 1; 1).

Ta có $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\left(0;0;1\right),\overrightarrow{AB}=\left(1;0;0\right),\overrightarrow{AD}=\left(0;1;0\right)$ .

Áp dụng quy tắc hình hộp trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D' ta có

$\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ = (0+1+0; 0+0+1; 1+0+0) = (1;1;1)

Do đó, $\overrightarrow{O{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}=\left(1;1;1\right)$, suy ra C'(1; 1; 1).

b) Gọi tọa độ trọng tâm G của tam giác A'BD là (x_G; y_G; z_G).

Ta có $x_G=\frac{0+1+0}{3}=\frac{1}{3};y_G=\frac{0+0+1}{3}=\frac{1}{3};z_G=\frac{1+0+0}{3}=\frac{1}{3}$.

Vậy $G\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$.

c) Vì $G\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$ nên $\overrightarrow{OG}=\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$

Ta có $\overrightarrow{O{C}^{\text{'}}}=\left(1;1;1\right)$, do đó $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{O{C}^{\text{'}}}$.

Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{OG}$ và $\overrightarrow{O{C}^{\text{'}}}$ cùng phương nên hai đường thẳng OG và OC' song song hoặc trùng nhau, mà OG ∩ OC' = O nên hai đường thẳng này trùng nhau, tức là ba điểm O, G, C' thẳng hàng.

Từ $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{O{C}^{\text{'}}}$ suy ra ,

Lời giải bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 2 hay, chi tiết khác:

• Bài 1 trang 82 Toán 12 Tập 1: Cho điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$. Tọa độ của điểm M là: ....

• Bài 2 trang 82 Toán 12 Tập 1: Cho hai điểm M(1; – 2; 3) và N(3; 4; – 5). Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{NM}$ là: ....

• Bài 3 trang 82 Toán 12 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(3;-4;5\right)$,$\overrightarrow{v}=\left(5;7;-1\right)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ là: ....

• Bài 4 trang 82 Toán 12 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(1;–2;3\right),$$\overrightarrow{v}=\left(5;4;-1\right)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$ là: ....

• Bài 5 trang 82 Toán 12 Tập 1: Cho vectơ $\overrightarrow{u}=\left(1;-1;3\right)$. Tọa độ của vectơ $-3\overrightarrow{u}$ là: ....

• Bài 6 trang 82 Toán 12 Tập 1: Độ dài của vectơ $\overrightarrow{u}=\left(2;-2;1\right)$ là: ....

• Bài 7 trang 82 Toán 12 Tập 1: Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(1;-2;3\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(3;4;-5\right)$ là: ....

• Bài 8 trang 82 Toán 12 Tập 1: Khoảng cách giữa hai điểm I(1; 4; – 7) và K(6; 4; 5) là: ....

• Bài 9 trang 82 Toán 12 Tập 1: Cho hai điểm M(1; – 2; 3) và N(3; 4; – 5). Trung điểm của đoạn thẳng MN có tọa độ là: ....

• Bài 10 trang 82 Toán 12 Tập 1: Cho tam giác MNP có M(0; 2; 1), N(–1; –2; 3) và P(1; 3; 2). Trọng tâm của tam giác MNP có tọa độ là: ....

• Bài 11 trang 83 Toán 12 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(1;-2;3\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(3;4;-5\right)$. Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ $\overrightarrow{w}$ khác $\overrightarrow{0}$ ....

• Bài 12 trang 83 Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AA' và CC' ....

• Bài 14 trang 83 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2; 0; – 3), B(0; – 4; 5) và C(– 1; 2; 0) ....

• Bài 15 trang 83 Toán 12 Tập 1: Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt E(0 ; 0 ; 6) ....

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài 1: Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

• Toán 12 Bài 2: Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

• Toán 12 Bài tập cuối chương 3

• Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm

• Toán Bài 2: Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều
• Giải SBT Toán 12 Cánh diều
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---