Bài 7 trang 86 Toán 12 Tập 2 Cánh diều

Giải Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu - Cánh diều

Bài 7 trang 86 Toán 12 Tập 2: Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian (Hình 42). Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, toạ độ của một điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí M cần tìm tọa độ. Như vậy, điểm M là giao điểm của bốn mặt cầu với tâm lần lượt là bốn vệ tinh đã cho.

Ta xét một ví dụ cụ thể như sau:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn vệ tinh A(3; – 1; 6), B(1; 4; 8), C(7; 9; 6), D(7; – 15; 18). Tìm tọa độ của điểm M trong không gian biết khoảng cách từ các vệ tinh đến điểm M lần lượt là MA = 6, MB = 7, MC = 12, MD = 24.

Lời giải:

Gọi tọa độ điểm M là M(x; y; z).

Ta có MA = $\sqrt{{\left(3-x\right)}^2+{\left(-1-y\right)}^2+{\left(6-z\right)}^2}=6$;

MB =$\sqrt{{\left(1-x\right)}^2+{\left(4-y\right)}^2+{\left(8-z\right)}^2}=7$;

MC = $\sqrt{{\left(7-x\right)}^2+{\left(9-y\right)}^2+{\left(6-z\right)}^2}$ = 12;

MD = $\sqrt{{\left(7-x\right)}^2+{\left(-15-y\right)}^2+{\left(18-z\right)}^2}=24$.

Từ đó ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}{\left(3-x\right)}^2+{\left(-1-y\right)}^2+{\left(6-z\right)}^2=36\left(1\right)\\ {\left(1-x\right)}^2+{\left(4-y\right)}^2+{\left(8-z\right)}^2=49\left(2\right)\\ {\left(7-x\right)}^2+{\left(9-y\right)}^2+{\left(6-z\right)}^2=144\left(3\right)\\ {\left(7-x\right)}^2+{\left(-15-y\right)}^2+{\left(18-z\right)}^2=576\left(4\right)\end{array}\right.$.

Lấy (3) – (1) ta được: (7 – x)² – (3 – x)² + (9 – y)² – (– 1 – y)² = 144 – 36

⇔ – 8x – 20y = – 12 ⇔ 2x + 5y = 3 ⇔ x = $\frac{3-5y}{2}$ (5).

Lấy (4) – (3) ta được: (– 15 – y)² – (9 – y)² + (18 – z)² – (6 – z)² = 576 – 144

⇔ 48y – 24z = 0 ⇔ 2y – z = 0 ⇔ z = 2y (6).

Thay (5) và (6) vào (2) ta được: ${\left(1-\frac{3-5y}{2}\right)}^2$+ (4 – y)² + (8 – 2y)² = 49

⇔ 45y² – 170y + 125 = 0 ⇔ y = 1 hoặc y = $\frac{25}{9}$.

+ Với y = 1 thì x = – 1, z = 2. Khi đó M(– 1; 1; 2).

Thử lại bằng cách thay x = – 1, y = 1, z = 2 vào các phương trình (1), (2), (3), (4) ta thấy thỏa mãn.

+ Với y = $\frac{25}{9}$ thì x = $-\frac{49}{9}$, z = $\frac{50}{9}$. Khi đó M $\left(-\frac{49}{9};\frac{25}{9};\frac{50}{9}\right)$.

Thử lại bằng cách thay x = $-\frac{49}{9}$, y =$\frac{25}{9}$, z = $\frac{50}{9}$ vào các phương trình (1), (2), (3), (4) ta thấy thỏa mãn.

Vậy M(– 1; 1; 2) là điểm cần tìm.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu hay, chi tiết khác:

• Câu hỏi khởi động trang 81 Toán 12 Tập 2: Hình 38 mô tả một mặt cầu trong không gian. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình của mặt cầu được lập như thế nào? ....

• Hoạt động 1 trang 81 Toán 12 Tập 2: Nếu quay đường tròn tâm I bán kính R quanh đường kính AB một vòng (Hình 39) thì hình tạo thành được gọi là mặt cầu. ....

• Luyện tập 1 trang 82 Toán 12 Tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; 2; 3) và mặt cầu tâm I đi qua điểm A(0; 4; 5). ....

• Hoạt động 2 trang 82 Toán 12 Tập 2: Cho hai điểm M(x; y; z) và I(a; b; c). a) Viết công thức tính khoảng cách giữa hai điểm M và I....

• Luyện tập 2 trang 82 Toán 12 Tập 2: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: x² + (y + 5)² + (z + 1)² = 2.....

• Luyện tập 3 trang 82 Toán 12 Tập 2: Viết phương trình của mặt cầu, biết: a) Tâm O bán kính R với O là gốc tọa độ....

• Luyện tập 4 trang 83 Toán 12 Tập 2: Chứng minh rằng phương trình x² + y² + z² – 6x – 2y – 4z – 11 = 0 là phương trình của một mặt cầu. Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.....

• Luyện tập 5 trang 85 Toán 12 Tập 2: Trong Ví dụ 6, giả sử người đi biển di chuyển theo đường thẳng từ vị trí I(21; 35; 50) đến vị trí D(5 121; 658; 0). ....

• Bài 1 trang 85 Toán 12 Tập 2: Tâm của mặt cầu (S): (x – 2)² + (y – 3)² + (z + 4)² = 16 có tọa độ là:....

• Bài 2 trang 85 Toán 12 Tập 2: Bán kính của mặt cầu (S): (x – 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² = 9 bằng:...

• Bài 3 trang 86 Toán 12 Tập 2: Mặt cầu (S) tâm I(– 5; – 2; 3) bán kính 4 có phương trình là: ....

• Bài 4 trang 86 Toán 12 Tập 2: Cho mặt cầu có phương trình (x – 1)² + (y + 2)² + (z – 7)² = 100.....

• Bài 5 trang 86 Toán 12 Tập 2: Cho phương trình x² + y² + z² – 4x – 2y – 10z + 2 = 0.Chứng minh rằng phương trình trên là phương trình của một mặt cầu ....

• Bài 6 trang 86 Toán 12 Tập 2: Lập phương trình mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau: a) (S) có tâm I(3; – 7; 1) và bán kính R = 2; ....

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng

• Toán 12 Bài tập cuối chương 5

• Toán 12 Bài 1: Xác xuất có điều kiện

• Toán 12 Bài 2: Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

• Toán 12 Bài tập cuối chương 6

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều
• Giải SBT Toán 12 Cánh diều
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---