Bài 5 trang 135 Toán 8 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 8

Giải Toán 8 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức

Bài 5 trang 135 Toán 8 Tập 2: Cho biểu thức $P=\left(\frac{x+y}{1-xy}+\frac{x-y}{1+xy}\right):\left(1+\frac{x^2+y^2+2x^2{y}^2}{1-x^2{y}^2}\right)$, trong đó x và y là hai biến thỏa mãn điều kiện x²y² – 1 ≠ 0.

a) Tính mỗi tổng $A=\frac{x+y}{1-xy}+\frac{x-y}{1+xy}$ và $B=1+\frac{x^2+y^2+2x^2{y}^2}{1-x^2{y}^2}$.

b) Từ kết quả câu a, hãy thu gọn P và giải thích tại sao giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của biến y.

c) Chứng minh đẳng thức $P=1-\frac{{\left(1-x\right)}^2}{1+x^2}$.

d) Sử dụng câu c, hãy tìm các giá trị của x và y sao cho P = 1.

Lời giải:

a) $A=\frac{x+y}{1-xy}+\frac{x-y}{1+xy}$$=\frac{\left(x+y\right)\left(1+xy\right)+\left(x-y\right)\left(1-xy\right)}{\left(1-xy\right)\left(1+xy\right)}$

        $=\frac{x+x^{2}y+y+x{y}^2+x-x^{2}y-y+x{y}^2}{1-x^2{y}^2}$         

        $=\frac{2x+2x{y}^2}{1-x^2{y}^2}$

$B=1+\frac{x^2+y^2+2x^2{y}^2}{1-x^2{y}^2}$$=\frac{1-x^2{y}^2+x^2+y^2+2x^2{y}^2}{1-x^2{y}^2}=\frac{1+x^2+y^2+x^2{y}^2}{1-x^2{y}^2}$

          $=\frac{\left(1+x^2\right)+y^2\left(1+x^2\right)}{1-x^2{y}^2}=\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{1-x^2{y}^2}$.

b) P  = A : B $=\frac{2x+2x{y}^2}{1-x^2{y}^2}$:$\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{1-x^2{y}^2}$

                    $=\frac{2x\left(1+y^2\right)}{1-x^2{y}^2}.\frac{1-x^2{y}^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}$$=\frac{2x}{1+x^2}$ (*)

Trong biểu thức (*) ta thấy không xuất hiện biến y, chứng tỏ giá trị của biểu thức P nếu xác định thì nó không phụ thuộc vào biến y.

c) Ta có $1-\frac{{\left(1-x\right)}^2}{1+x^2}$$=\frac{1+x^2-1+2x-x^2}{1+x^2}=\frac{2x}{1+x^2}$.

So sánh kết quả này với (*) suy ra $P=1-\frac{{\left(1-x\right)}^2}{1+x^2}$

d) Để P  = 1 thì $1-\frac{{\left(1-x\right)}^2}{1+x^2}=1$, tức là $\frac{{\left(1-x\right)}^2}{1+x^2}=0$, suy ra (1 – x)² = 0, do đó x = 1.

Vì x²y² – 1 ≠ 0 nên với x = 1 thì y² – 1 ≠ 0 hay y ≠ 1; y ≠ –1.

Vậy để P = 1 thì x = 1 và y ≠ 1; y ≠ –1.

Lời giải bài tập Toán 8 Bài tập ôn tập cuối năm hay, chi tiết khác:

• Bài 1 trang 135 Toán 8 Tập 2: Rút gọn các biểu thức sau: ....

• Bài 2 trang 135 Toán 8 Tập 2: Cho đa thức P = x² – y² + 6x + 9 ....

• Bài 3 trang 135 Toán 8 Tập 2: Cho đa thức f(x) = x² – 15x + 56 ....

• Bài 4 trang 135 Toán 8 Tập 2: Cho phân thức $P=\frac{2x^3+6x^2}{2x^3-18x}$ ....

• Bài 6 trang 135 Toán 8 Tập 2: Bảng giá cước của một hãng taxi như sau: ....

• Bài 7 trang 135 Toán 8 Tập 2: Với giá trị nào của m, đường thẳng y = mx + 1 (m ≠ 0): ....

• Bài 8 trang 136 Toán 8 Tập 2: Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của ....

• Bài 9 trang 136 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC. Các đường trung tuyến AF, ....

• Bài 10 trang 136 Toán 8 Tập 2: Hình sau mô tả một dụng cụ đo bề dày (nhỏ ....

• Bài 11 trang 136 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Hai đường ....

• Bài 12 trang 137 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC không phải là tam giác ....

• Bài 13 trang 137 Toán 8 Tập 2: Cho bảng thống kê sau: ....

• Bài 14 trang 137 Toán 8 Tập 2: Báo điện tử VnExpress đã khảo sát ý kiến của ....

• Bài 15 trang 137 Toán 8 Tập 2: Một túi đựng 24 viên bi giống hệt nhau chỉ ....

Xem thêm lời giải bài tập Toán 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Toán 8 Chương 6: Phân thức đại số
• Toán 8 Chương 7: Phương trình bậc nhất và hàm số bậc nhất
• Toán 8 Chương 8: Mở đầu về tính xác suất của biến cố
• Toán 8 Chương 9: Tam giác đồng dạng
• Toán 8 Chương 10: Một số hình khối trong thực tiễn
• Toán 8 Hoạt động thực hành trải nghiệm (Tập 2)

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 8 Kết nối tri thức
• Giải lớp 8 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 8 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 8 Cánh diều (các môn học)

---