Bài 9.36 trang 91 Toán 9 Kết nối tri thức Tập 2 | Giải Toán 9

Giải Toán 9 Luyện tập chung (trang 91) - Kết nối tri thức

Bài 9.36 trang 91 Toán 9 Tập 2: Người ta muốn làm một khay đựng bánh kẹo hình lục giác đều có cạnh 10 cm và chia thành 7 ngăn gồm một lục giác đều nhỏ và 6 hình thang cân như Hình 9.60. Hỏi lục giác đều nhỏ phải có cạnh bằng bao nhiêu để nó có diện tích bằng hai lần diện tích mỗi hình thang?

Quảng cáo

Lời giải:

Giả sử ABCDEG là khay bánh kẹo hình lục giác đều cạnh 10 cm, được chia thành 7 ngăn gồm một lúc giác đều nhỏ MNPQUT và 6 hình thang cân MNBA, NPCB, PQDC, QUED, UTGE, TMAG.

Bài 9.36 trang 91 Toán 9 Kết nối tri thức Tập 2 | Giải Toán 9

Gọi O là giao điểm của ba đường chéo chính AD, BE, CG của hình lục giác đều ABCDEG.

Hình lục giác đều MNPQUT chia thành 6 tam giác đều OMN, ONP, OPQ, OPU, OUT, OTM.

Ta dễ dàng chứng minh được các tam giác đều đó bằng nhau nên chúng có diện tích bằng nhau.

Khi đó, S_MNPQUT = 6S_OMN.

Kẻ OK ⊥ AB, ta có K là trung điểm của AB nên AK = 5 cm.

Ta có MN // AB (do MNBA là hình thang cân) nên OK ⊥ MN.

Gọi H là giao điểm của OK và AB, ta có OH ⊥ MN và H là trung điểm của MN.

Gọi x (cm, 0 < x < 10) là độ dài cạnh của lục giác đều MNPQUT, ta có MN = x, MH = $\frac{x}{2}$ .

Vì ABCDEG là lục giác đều nên ∆OAB là tam giác đều, do đó $\hat{O A B} = 60 ° .$

Xét ∆OAK vuông tại K, ta có:

OK = AKtan $\hat{O A K}$ = 5.tan60^o = 5 $\sqrt{3}$ (cm).

Xét ∆OMH vuông tại H, ta có:

OH = MH = tan $\hat{O M H}$ = $\frac{x}{2}$ .tan60^o = $\frac{x \sqrt{3}}{2}$ (cm).

Suy ra HK = OK = OH = 5 $\sqrt{3}$ - $\frac{x \sqrt{3}}{2}$ = $\frac{(10 - x) \sqrt{3}}{2}$ (cm).

Diện tích của tam giác OMN là:

$S_{1} = \frac{1}{2} \cdot O H \cdot M N = \frac{1}{2} \cdot \frac{x \sqrt{3}}{2} \cdot x = \frac{x^{2} \sqrt{3}}{4} {(cm}^{2}).$

Diện tích của hình thang cân MNBA là:

$S_{2} = \frac{1}{2} \cdot H K \cdot (M N + A B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(10 - x) \sqrt{3}}{2} \cdot (x + 10) = \frac{(100 - x^{2}) \sqrt{3}}{4} {(cm}^{2}).$