Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác lớp 10 (Chân trời sáng tạo)

Tài liệu chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác Toán lớp 10 sách Chân trời sáng tạo gồm các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao với phương pháp giải chi tiết và bài tập tự luyện đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy Toán 10.

Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác lớp 10 (Chân trời sáng tạo)

Xem thử

Chỉ từ 450k mua trọn bộ Chuyên đề dạy thêm Toán 10 Chân trời sáng tạo bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 0711000255837 - NGUYEN THANH TUYEN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

BÀI 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 0 ĐỘ ĐẾN 180 ĐỘ

DẠNG 1. DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

Câu 1: Cho góc $\alpha \in \left(90°;180°\right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\sin \alpha$ và $cot\alpha$ cùng dấu.

B. Tích $\sin \alpha .\cot \alpha$ mang dấu âm.

C. Tích $\sin \alpha .cos\alpha$ mang dấu dương.

D. $\sin \alpha$ và $tan\alpha$ cùng dấu.

Lời giải

Chọn B

Với $\alpha \in \left(90°;180°\right)$, ta có $\sin \alpha >0,\cos \alpha <0$ suy ra: $\tan \alpha <0,\cot \alpha <0$

Vậy $\sin \alpha .\cot \alpha <0$

Câu 2: Cho $\alpha$ là góc tù. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?

A. $\tan \alpha <0$

B. $\cot \alpha >0$

C. $\sin \alpha <0$

D. $\cos \alpha >0.$

Lời giải

Chọn C

$\tan \alpha <0$

Câu 3: Cho $0º<\alpha <90º$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\cot \left(90º-\alpha \right)=-\tan \alpha$

B. $\cos \left(90º-\alpha \right)=\sin \alpha$

C. $\sin \left(90º-\alpha \right)=-\cos \alpha$

D. $\tan \left(90º-\alpha \right)=-\cot \alpha$

Lời giải

Chọn B

Vì $\alpha$ và $\left(90º-\alpha \right)$ là hai cung phụ nhau nên theo tính chất giá trị lượng giác của hai cung phụ nhau ta có đáp án B đúng.

Câu 4: Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\tan \left({180}^{\text{o}}+a\right)=-\tan a$

B. $\cos \left({180}^{\text{o}}+a\right)=-\cos a$

C. $\sin \left({180}^{\text{o}}+a\right)=\sin a$

D. $\cot \left({180}^{\text{o}}+a\right)=-\cot a$

Lời giải

Chọn B

Lý thuyết “cung hơn kém ${180}^{°}$”

Câu 5: Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?

A. $\sin \left({180}^{°}-\alpha \right)=-\sin \alpha$

B. $\cos \left({180}^{°}-\alpha \right)=\cos \alpha$

C. $\tan \left({180}^{°}-\alpha \right)=\tan \alpha$

D. $\cot \left({180}^{°}-\alpha \right)=-\cot \alpha$

Lời giải

Chọn D

Mối liên hệ hai cung bù nhau.

Câu 6: Cho $\alpha$ và $\beta$ là hai góc khác nhau và bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai?

A. $\sin \alpha =\sin \beta$

B. $\cos \alpha =-\cos \beta$

C. $\tan \alpha =-\tan \beta$

D. $\cot \alpha =\cot \beta$

Lời giải

Chọn D

Mối liên hệ hai cung bù nhau.

Câu 7: Cho góc $\alpha$ tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\sin \alpha <0$

B. $\cos \alpha >0$

C. $\tan \alpha >0$

D. $\cot \alpha <0$

Lời giải

Chọn D

Câu 8: Hai góc nhọn $\alpha$ và $\beta$ phụ nhau, hệ thức nào sau đây là sai?

A. $\sin \alpha =\cos \beta$

B. $\tan \alpha =\cot \beta$

C. $\cot \beta =\frac{1}{\cot \alpha }$

D. $\cos \alpha =-\sin \beta$

Lời giải

Chọn D

$\cos \alpha =\cos \left({90}^{°}-\beta \right)=\sin \beta$

Câu 9: Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?

A. $\sin {150}^{°}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $\cos {150}^{°}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

C. $\tan {150}^{°}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

D. $\cot {150}^{°}=\sqrt{3}$

Lời giải

Chọn C

Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.

Câu 10: Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?

A. $\sin {90}^{°}<\sin {100}^{°}$

B. $\cos {95}^{°}>\cos {100}^{°}$

C. $\tan {85}^{°}<\tan {125}^{°}$

D. $\cos {145}^{°}>\cos {125}^{°}$

Lời giải

Chọn B

Câu 11: Giá trị của $\tan {45}^{°}+\cot {135}^{°}$ bằng bao nhiêu?

A. 2

B. 0

C. $\sqrt{3}$

D. 1

Lời giải

Chọn B

$\tan {45}^{°}+\cot {135}^{°}=1-1=0$

Câu 12: Giá trị của $\cos {30}^{°}+\sin {60}^{°}$ bằng bao nhiêu?

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

C. $\sqrt{3}$

D. 1

Lời giải

Chọn C

$\cos {30}^{°}+\sin {60}^{°}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

Câu 13: Giá trị của $\cos {60}^{°}+\sin {30}^{°}$ bằng bao nhiêu?

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $\sqrt{3}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

D. 1

Lời giải

Chọn D

Ta có $\cos {60}^{°}+\sin {30}^{°}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$

Câu 14: Giá trị của $\tan {30}^{°}+\cot {30}^{°}$ bằng bao nhiêu?

A. $\frac{4}{\sqrt{3}}$

B. $\frac{1+\sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{2}{\sqrt{3}}$

D. 2

Lời giải

Chọn A

$\tan {30}^{°}+\cot {30}^{°}=\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

Câu 15: Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?

A. $\sin 0^{°}+\cos 0^{°}=1$

B. $\sin {90}^{°}+\cos {90}^{°}=1$

C. $\sin {180}^{°}+\cos {180}^{°}=-1$

D. $\sin {60}^{°}+\cos {60}^{°}=1$

Lời giải

Chọn D

Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.

Câu 16: Tính giá trị của biểu thức $P=\sin 30°\cos 60°+sin60°cos30°$

A. $P=1$

B. $P=0$

C. $P=\sqrt{3}$

D. $P=-\sqrt{3}$

Lời giải

Chọn A

Ta có: $P=\sin 30°\cos 60°+sin60°cos30°=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=1$

Câu 17: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. $\cos {60}^{°}=\sin {30}^{°}$

B. $\cos {60}^{°}=\sin {120}^{°}$

C. $\cos {30}^{°}=\sin {120}^{°}$

D. $\sin {60}^{°}=-\cos {120}^{°}$

Lời giải

Chọn B

Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.

Câu 18: Đẳng thức nào sau đây sai?

A. $\sin {45}^{°}+\sin {45}^{°}=\sqrt{2}$

B. $\sin {30}^{°}+\cos {60}^{°}=1$

C. $\sin {60}^{°}+\cos {150}^{°}=0$

D. $\sin {120}^{°}+\cos {30}^{°}=0$

Lời giải

Chọn D

Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.

Câu 19: Cho hai góc nhọn $\alpha$ và $\beta$($\alpha <\beta$). Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\cos \alpha <\cos \beta$

B. $\sin \alpha <\sin \beta$

C. $\tan \alpha +\tan \beta >0$

D. $\cot \alpha >\cot \beta$

Lời giải

Chọn B

Biểu diễn lên đường tròn.

Câu 20: Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$, góc $B$ bằng ${30}^{°}$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\cos B=\frac{1}{\sqrt{3}}$

B. $\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$

C. $\cos C=\frac{1}{2}$

D. $\sin B=\frac{1}{2}$

Lời giải

Chọn A

$\cos B=\cos {30}^{°}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Câu 21: Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. $\cos {75}^{°}>\cos {50}^{°}$

B. $\sin {80}^{°}>\sin {50}^{°}$

C. $\tan {45}^{°}<\tan {60}^{°}$

D. $\cos {30}^{°}=\sin {60}^{°}$

Lời giải

Chọn A

Lý thuyết.

DẠNG 2. CHO BIẾT MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, TÍNH CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CÒN LẠI

Câu 22: Cho $\sin \alpha =\frac{1}{3}$, với $90°<\alpha <180°$. Tính $\cos \alpha$.

A. $\cos \alpha =\frac{2}{3}$

B. $\cos \alpha =-\frac{2}{3}$

C. $\cos \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$

D. $\cos \alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Lời giải

Chọn D

Ta có ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{8}{9}$

Mặt khác $90°<\alpha <180°$ nên $\cos \alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Câu 23: Cho biết $\cos \alpha =-\frac{2}{3}$. Tính $\tan \alpha$?

A. $\frac{5}{4}$

B. $-\frac{5}{2}$

C. $\frac{\sqrt{5}}{2}$

D. $-\frac{\sqrt{5}}{2}$

Lời giải

Chọn D

Do $\cos \alpha <0\Rightarrow \tan \alpha <0$

Ta có: $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\iff {\tan }^2\alpha =\frac{5}{4}\Rightarrow \tan \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{2}$

Câu 24: Cho biết $\tan \alpha =\frac{1}{2}$. Tính $\cot \alpha$.

A. $\cot \alpha =2$.

B. $\cot \alpha =\sqrt{2}$

C. $\cot \alpha =\frac{1}{4}$

D. $\cot \alpha =\frac{1}{2}$

Lời giải

Chọn A

$\tan \alpha .\cot \alpha =1\Rightarrow \cot x=\frac{1}{\tan x}=2$

Câu 25: $\cos \alpha$ bằng bao nhiêu nếu $\cot \alpha =-\frac{1}{2}$?

A. $\pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

B. $\frac{\sqrt{5}}{2}$

C. $-\frac{\sqrt{5}}{5}$

D. $-\frac{1}{3}$

Lời giải

Chọn A

Ta có $\cot \alpha =-\frac{1}{2}\Rightarrow \tan \alpha =-2$

$1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\iff {\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+{\tan }^2\alpha }=\frac{1}{1+{\left(-2\right)}^2}=\frac{1}{5}$

Suy ra $\cos \alpha =\pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

Câu 26: Nếu $\tan \alpha =3$ thì $\cos \alpha$ bằng bao nhiêu?

A. $-\frac{\sqrt{10}}{10}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\pm \frac{\sqrt{10}}{10}$

D. $\frac{\sqrt{10}}{10}$

Lời giải

Chọn C

Ta có $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\iff {\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+{\tan }^2\alpha }=\frac{1}{1+3^2}=\frac{1}{10}$

Suy ra $\cos \alpha =\pm \frac{\sqrt{10}}{10}$

Câu 27: Cho $\alpha$ là góc tù và $\sin \alpha =\frac{5}{13}$. Giá trị của biểu thức $3\sin \alpha +2\cos \alpha$ là

A. $\frac{9}{13}$

B. 3

C. $-\frac{9}{13}$

D. $-3$

Lời giải

Chọn C

Ta có ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =\frac{144}{169}\Rightarrow \cos \alpha =\pm \frac{12}{13}$

Do $\alpha$ là góc tù nên $\cos \alpha <0$, từ đó $\cos \alpha =-\frac{12}{13}$

Như vậy$3\sin \alpha +2\cos \alpha =3\cdot \frac{5}{13}+2\left(-\frac{12}{13}\right)=-\frac{9}{13}$

Câu 28: Biết $\cot \alpha =-a$, $a>0$. Tính $\cos \alpha$

A. $\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}$

B. $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$

C. $\cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$

D. $\cos \alpha =-\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}$

Lời giải

Chọn D

Do $\cot \alpha =-a$, $a>0$ nên ${90}^0<\alpha <{180}^0$ suy ra $\cos \alpha <0$

Mặt khác, $\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }\iff \tan \alpha =\frac{-1}{a}$

Mà ta lại có $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\iff {\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+{\tan }^2\alpha }\iff {\cos }^2\alpha =\frac{a^2}{1+a^2}$

Khi đó $\cos \alpha =-\frac{\left(a\right)}{\sqrt{1+a^2}}$ và do $a>0$ nên$\cos \alpha =-\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}$

Câu 29: Cho $\cos x=\frac{1}{2}$. Tính biểu thức $P=3{\sin }^{2}x+4{\cos }^{2}x$

A. $\frac{13}{4}$

B. $\frac{7}{4}$

C. $\frac{11}{4}$

D. $\frac{15}{4}$

Lời giải

Chọn A

Ta có $P=3{\sin }^{2}x+4{\cos }^{2}x=3\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)+{\cos }^{2}x=3+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{13}{4}$

Câu 30: Cho $\alpha$ là góc tù và $\sin \alpha =\frac{4}{5}$. Giá trị của biểu thức $A=2\sin \alpha -\cos \alpha$ bằng

A. $\frac{-7}{5}$

B. $\frac{7}{5}$

C. 1

D. $\frac{11}{5}$

Lời giải

Chọn D

Ta có: $\sin \alpha =\frac{4}{5}\Rightarrow {\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{9}{25}$

Do $\alpha$ là góc tù nên $\cos \alpha <0\Rightarrow \cos \alpha =\frac{-3}{5}$

$A=2\sin \alpha -\cos \alpha =\frac{2.4}{5}-\frac{-3}{5}=\frac{11}{5}$

Câu 31: Cho $\sin \alpha =\frac{4}{5},$ với $90°\le \alpha \le 180°$. Tính giá trị của $M=\frac{\sin \alpha +\cos \alpha }{{\cos }^3\alpha }$

A. $M=\frac{25}{27}$

B. $M=\frac{175}{27}$

C. $M=\frac{35}{27}$

D. $M=-\frac{25}{27}$

Chọn D

Ta có ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{9}{25}$

Mà $90°\le \alpha \le 180°\Rightarrow \cos \alpha \le 0\Rightarrow \cos \alpha =\frac{-3}{5}$

Từ đó $M=\frac{\sin \alpha +\cos \alpha }{{\cos }^3\alpha }=\frac{-25}{27}$

Câu 32: Cho biết $\cos \alpha =-\frac{2}{3}$. Tính giá trị của biểu thức $E=\frac{\cot \alpha +3\tan \alpha }{2\cot \alpha +\tan \alpha }$?

A. $-\frac{19}{13}$

B. $\frac{19}{13}$

C. $\frac{25}{13}$

D. $-\frac{25}{13}$

Lời giải

Chọn B

$E=\frac{\cot \alpha +3\tan \alpha }{2\cot \alpha +\tan \alpha }=\frac{1+3{\tan }^2\alpha }{2+{\tan }^2\alpha }=\frac{3\left({\tan }^2\alpha +1\right)-2}{1+\left(1+{\tan }^2\alpha \right)}=\frac{\frac{3}{{\cos }^2\alpha }-2}{\frac{1}{{\cos }^2\alpha }+1}=\frac{3-2{\cos }^2\alpha }{1+{\cos }^2\alpha }=\frac{19}{13}$

Câu 33: Cho biết $\cot \alpha =5$. Tính giá trị của $E=2{\cos }^2\alpha +5\sin \alpha \cos \alpha +1$?

A. $\frac{10}{26}$

B. $\frac{100}{26}$

C. $\frac{50}{26}$

D. $\frac{101}{26}$

Lời giải

Chọn D

$E={\sin }^2\alpha \left(2{\cot }^2\alpha +5\cot \alpha +\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\right)=\frac{1}{1+{\cot }^2\alpha }\left(3{\cot }^2\alpha +5\cot \alpha +1\right)=\frac{101}{26}$

Câu 34: Cho $cot\alpha =\frac{1}{3}$. Giá trị của biểu thức $A=\frac{3\sin \alpha +4\cos \alpha }{2\sin \alpha -5\cos \alpha }$ là:

A. $-\frac{15}{13}$

B. $-13$

C. $\frac{15}{13}$

D. 13

Lời giải

Chọn D

$A=\frac{3\sin \alpha +4\sin \alpha .\cot \alpha }{2\sin \alpha -5\sin \alpha .\cot \alpha }=\frac{3+4\cot \alpha }{2-5\cot \alpha }=13$

Câu 35: Cho biết $\cos \alpha =-\frac{2}{3}$. Giá trị của biểu thức $E=\frac{\cot \alpha -3\tan \alpha }{2\cot \alpha -\tan \alpha }$ bằng bao nhiêu?

A. $-\frac{25}{3}$

B. $-\frac{11}{13}$

C. $-\frac{11}{3}$

D. $-\frac{25}{13}$

Lời giải

Chọn C

$E=\frac{\cot \alpha -3\tan \alpha }{2\cot \alpha -\tan \alpha }=\frac{1-3{\tan }^2\alpha }{2-{\tan }^2\alpha }=\frac{4-3\left({\tan }^2\alpha +1\right)}{3-\left(1+{\tan }^2\alpha \right)}=\frac{4-\frac{3}{{\cos }^2\alpha }}{3-\frac{1}{{\cos }^2\alpha }}=\frac{4{\cos }^2\alpha -3}{3{\cos }^2\alpha -1}=-\frac{11}{3}$

Câu 36: Biết $\cos \alpha =\frac{1}{3}$. Giá trị đúng của biểu thức $P={\sin }^2\alpha +3{\cos }^2\alpha$ là:

A. $\frac{11}{9}$

B. $\frac{4}{3}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{10}{9}$

Lời giải

Chọn A

$\text{cos}\alpha =\frac{1}{3}\Rightarrow P={\sin }^2\alpha +3c{\text{os}}^2\alpha =\left({\sin }^2\alpha +{\text{cos}}^2\alpha \right)+2{\text{cos}}^2\alpha =1+2{\text{cos}}^2\alpha =\frac{11}{9}$

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm Chuyên đề dạy thêm Toán lớp 10 sách mới hay khác:

• Chuyên đề Mệnh đề và tập hợp

• Chuyên đề Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• Chuyên đề Hàm số bậc hai và đồ thị

• Chuyên đề Vectơ

• Chuyên đề Thống kê

• Chuyên đề Bất phương trình bậc hai một ẩn

• Chuyên đề Đại số tổ hợp

• Chuyên đề Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

• Chuyên đề Xác suất

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---