Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai (hay, chi tiết)

Bài viết Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai.

Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai hay, chi tiết

1. Phương pháp giải

Để vẽ đường parabol y = ax² + bx + c ta thực hiện các bước như sau:

– Xác định toạ độ đỉnh

– Xác định trục đối xứng x = (-b)/(2a) và hướng bề lõm của parabol.

– Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục toạ độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng).

– Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ minh họa hoặc bài tập có giải

Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau

a) y = x² + 3x + 2         b) y = -x² + 2√2.x

Hướng dẫn:

a) Ta có

Suy ra đồ thị hàm số y = x² + 3x + 2 có đỉnh làđi qua các điểm A (-2; 0), B(-1; 0), C(0; 2), D (-3; 2)

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = (-3)/2 làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên

b) y = -x² + 2√2.x

Ta có:

Suy ra đồ thị hàm số y = -x² + 2√2.x có đỉnh là I(√2; 2) đi qua các điểm O (0; 0), B (2√2; 0)

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = √2 làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = x² - 6x + 8

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số trên

b) Sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số m số điểm chung của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số trên

c) Sử dụng đồ thị, hãy nêu các khoảng trên đó hàm số chỉ nhận giá trị dương

d) Sử dụng đồ thị, hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [-1; 5]

Hướng dẫn:

a) y = x² - 6x + 8

Ta có:

Suy ra đồ thị hàm số y = x² - 6x + 8 có đỉnh là I (3; -1), đi qua các điểm A (2; 0), B(4; 0).

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 3 làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên.

b) Đường thẳng y = m song song hoặc trùng với trục hoành do đó dựa vào đồ thị ta có

Với m < -1 đường thẳng y = m và parabol y = x² - 6x + 8 không cắt nhau.

Với m = -1 đường thẳng y = m và parabol y = x² - 6x + 8 cắt nhau tại một điểm (tiếp xúc).

Với m > -1 đường thẳng y = m và parabol y = x² - 6x + 8 cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

c) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm hoàn toàn trên trục hoành

Do đó hàm số chỉ nhận giá trị dương khi và chỉ khi x ∈ (-∞;2) ∪ (4; +∞).

d) Ta có y(-1) = 15; y(5) = 13; y(3) = -1, kết hợp với đồ thị hàm số suy ra

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=x^2-3x+4$.

Hướng dẫn giải

Ta có

$\frac{-b}{2a}=\frac{3}{2};\frac{-\Delta }{4a}=\frac{7}{4}$

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số $y=x^2-3x+4$ có đỉnh là $I\left(\frac{3}{2};\frac{7}{4}\right)$, đi qua điểm C(0; 4).

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x=\frac{3}{2}$ làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên

Bài 2. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=-x^2+5x+3$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{-b}{2a}=\frac{5}{2};\frac{-\Delta }{4a}=\frac{37}{4}$.

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số $y=-x^2+5x+3$ có đỉnh là $I\left(\frac{5}{2};\frac{37}{4}\right)$, đi qua điểm C(0; 3); $D\left(\frac{5+\sqrt{37}}{2};0\right);E\left(\frac{5-\sqrt{37}}{2};0\right)$.

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x=\frac{5}{2}$ làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới

Bài 3.Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=-2x^2+3x+1$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{-b}{2a}=\frac{3}{4};\frac{-\Delta }{4a}=\frac{17}{8}$.

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số $y=-2x^2+3x+1$ có đỉnh là $I\left(\frac{3}{4};\frac{17}{8}\right)$, đi qua điểm D(0; 1); $D\left(\frac{3+\sqrt{17}}{4};0\right);E\left(\frac{3-\sqrt{17}}{4};0\right)$.

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x=\frac{3}{4}$ làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới

Bài 4.Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=x^2+\sqrt{3}x+2$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{-b}{2a}=-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{-\Delta }{4a}=\frac{5}{4}$

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số $y=x^2+\sqrt{3}x+2$ có đỉnh là $I\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{5}{4}\right)$, đi qua điểm D(0; 2).

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x=\frac{3}{4}$ làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên

Bài 5. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=-x^2+\frac{3}{5}x+3$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{-b}{2a}=\frac{3}{10};\frac{-\Delta }{4a}=\frac{309}{100}$.

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số $y=-x^2+\frac{3}{5}x+3$ có đỉnh là $I\left(\frac{3}{10};\frac{309}{100}\right)$, đi qua điểm D(0; 3), $A\left(\frac{3+\sqrt{309}}{10};0\right),C\left(\frac{3-\sqrt{309}}{10};0\right)$.

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x=\frac{3}{4}$ làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới

Bài 6. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=x^2+7x+10$.

Bài 7. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=-2x^2+6x+3$.

Bài 8. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=x^2+\sqrt{5}x+1$.

Bài 9. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=-2x^2+\sqrt{7}x+3$.

Bài 10. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=-x^2+\frac{2}{3}x+\frac{3}{5}$.

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---