Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F như sau đây

Giải vở thực hành Toán 9 Luyện tập chung trang 106 - Kết nối tri thức

Bài 2 trang 106 VTH Toán 9 Tập 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F như sau đây. Biết $\hat{B E C} = 40 °$ và $\hat{D F C} = 20 °,$ tính số đo các góc của tứ giác ABCD.

Quảng cáo

Lời giải:

Tổng các góc trong tam giác ADE bằng 180° nên:

$\hat{A} + \hat{D} = 180 ° - \hat{E} = 180 ° - 40 ° = 140 ° .$

Do vậy $\frac{1}{2} (\hat{B O C} + \hat{C O D}) + \frac{1}{2} (\hat{A O B} + \hat{B O C}) = 140 ° .$

Suy ra $\frac{1}{2} (360 ° + \hat{B O C} - \hat{D O A}) = 140 °,$ hay $\hat{D O A} - \hat{B O C} = 80 ° .$ (1)

Tổng các góc trong tam giác ABF bằng 180° nên:

$\hat{A} + \hat{B} = 180 ° - \hat{F} = 180 ° - 20 ° = 160 ° .$

Do vậy $\frac{1}{2} (\hat{B O C} + \hat{C O D}) + \frac{1}{2} (\hat{C O D} + \hat{D O A}) = 160 ° .$

Suy ra $\frac{1}{2} (360 ° + \hat{C O D} - \hat{A O B}) = 160 °,$ hay $\hat{A O B} - \hat{C O D} = 40 ° .$ (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2), ta được:

$\hat{A O B} + \hat{D O A} - \hat{C O D} - \hat{B O C} = 80 ° + 40 ° = 120 °,$ hay $s đ \overset{⏜}{D A B} - s đ \overset{⏜}{B C D} = 120 ° .$

Chú ý rằng $s đ \overset{⏜}{D A B} + s đ \overset{⏜}{B C D} = 360 ° .$

Suy ra $\hat{C} = \frac{1}{2} s đ \overset{⏜}{D A B} = \frac{120 ° + 360 °}{4} = 120 °,$ $\hat{A} = \frac{1}{2} s đ \overset{⏜}{B C D} = \frac{360 ° - 120 °}{4} = 60 ° .$

Trừ vế với vế của (1) cho (2), ta được:

$\hat{D O A} + \hat{C O D} - \hat{A O B} - \hat{B O C} = 80 ° - 40 ° = 40 °,$ hay $s đ \overset{⏜}{C D A} - s đ \overset{⏜}{A B C} = 40 ° .$

Chú ý rằng $s đ \overset{⏜}{C D A} + s đ \overset{⏜}{A B C} = 360 ° .$

Suy ra $\hat{B} = \frac{1}{2} s đ \overset{⏜}{C D A} = \frac{40 ° + 360 °}{4} = 100 °,$ $\hat{D} = \frac{1}{2} s đ \overset{⏜}{A B C} = \frac{360 ° - 40 °}{4} = 80 ° .$