Cho hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn sau trang 14 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Bài 1.6 trang 14 Chuyên đề Toán 10: Cho hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn sau:

$\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = d_{2} \\ a_{3} x + b_{3} y + c_{3} z = d_{3} \end{cases}$

a) Giả sử (x₀; y₀; z₀) và (x₁; y₁; z₁) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình trên. Chứng minh rằng $(\frac{x_{0} + x_{1}}{2}; \frac{y_{0} + y_{1}}{2}; \frac{z_{0} + z_{1}}{2})$ cũng là một nghiệm của hệ.

b) Sử dụng kết quả của câu a) chứng minh rằng, nếu hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có hai nghiệm phân biệt thì nó sẽ có vô số nghiệm.

Quảng cáo

Lời giải:

a) Vì (x₀; y₀; z₀) và (x₁; y₁; z₁) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình nên:

$\{\begin{cases} a_{1} x_{0} + b_{1} y_{0} + c_{1} z_{0} = d_{1} \\ a_{2} x_{0} + b_{2} y_{0} + c_{2} z_{0} = d_{2} \\ a_{3} x_{0} + b_{3} y_{0} + c_{3} z_{0} = d_{3} \end{cases}$ và $\{\begin{cases} a_{1} x_{1} + b_{1} y_{1} + c_{1} z_{1} = d_{1} \\ a_{2} x_{1} + b_{2} y_{1} + c_{2} z_{1} = d_{2} \\ a_{3} x_{1} + b_{3} y_{1} + c_{3} z_{1} = d_{3} \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} (a_{1} x_{0} + b_{1} y_{0} + c_{1} z_{0}) + (a_{1} x_{1} + b_{1} y_{1} + c_{1} z_{1}) = 2 d_{1} \\ (a_{2} x_{0} + b_{2} y_{0} + c_{2} z_{0}) + (a_{2} x_{1} + b_{2} y_{1} + c_{2} z_{1}) = 2 d_{2} \\ (a_{3} x_{0} + b_{3} y_{0} + c_{3} z_{0}) + (a_{3} x_{1} + b_{3} y_{1} + c_{3} z_{1}) = 2 d_{3} \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} a_{1} (x_{0} + x_{1}) + b_{1} (y_{0} + y_{1}) + c_{1} (z_{0} + z_{1}) = 2 d_{1} \\ a_{2} (x_{0} + x_{1}) + b_{2} (y_{0} + y_{1}) + c_{2} (z_{0} + z_{1}) = 2 d_{2} \\ a_{3} (x_{0} + x_{1}) + b_{3} (y_{0} + y_{1}) + c_{3} (z_{0} + z_{1}) = 2 d_{3} \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} a_{1} \frac{(x_{0} + x_{1})}{2} + b_{1} \frac{(y_{0} + y_{1})}{2} + c_{1} \frac{(z_{0} + z_{1})}{2} = d_{1} \\ a_{2} \frac{(x_{0} + x_{1})}{2} + b_{2} \frac{(y_{0} + y_{1})}{2} + c_{2} \frac{(z_{0} + z_{1})}{2} = d_{2} \\ a_{3} \frac{(x_{0} + x_{1})}{2} + b_{3} \frac{(y_{0} + y_{1})}{2} + c_{3} \frac{(z_{0} + z_{1})}{2} = d_{3} \end{cases}$

Mặt khác do (x₀; y₀; z₀) và (x₁; y₁; z₁) phân biệt nên $(\frac{x_{0} + x_{1}}{2}; \frac{y_{0} + y_{1}}{2}; \frac{z_{0} + z_{1}}{2})$ cũng đôi một phân biệt với (x₀; y₀; z₀) và (x₁; y₁; z₁).

Do đó $(\frac{x_{0} + x_{1}}{2}, \frac{y_{0} + y_{1}}{2}, \frac{Z_{0} + z_{1}}{2})$ cũng là một nghiệm của hệ.

b) Xét hệ phương trình bậc nhất ba ẩn $\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = d_{2} \\ a_{3} x + b_{3} y + c_{3} z = d_{3} \end{cases}$ .

có (x₀; y₀; z₀) và (x₁; y₁; z₁) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình này.

Giả sử hệ chỉ có n nghiệm đôi một phân biệt (x₀; y₀; z₀), (x₁; y₁; z₁), ..., (x_n; y_n; z_n).

Ta chọn ra hai nghiệm (x_i; y_i; z_i) và (x_j; y_j; z_j) thoả mãn x_i và x_j là hai số nhỏ nhất trong tập hợp A = {x₀; x₁; ...; x_n}.

Khi đó, áp dụng câu a) ta được $(\frac{x_{i} + x_{j}}{2}; \frac{y_{i} + y_{j}}{2}; \frac{z_{i} + z_{j}}{2})$ cũng là một nghiệm của hệ.

Mặt khác $\frac{x_{i} + x_{j}}{2}$ khác x_i, x_j và $\frac{x_{i} + x_{j}}{2}$ < max{x_i, x_j} nên $\frac{x_{i} + x_{j}}{2}$ không trùng với phần tử nào trong tập hợp A. Do đó hệ đã cho có n + 1 nghiệm phân biệt (vô lí).