Cho hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn sau trang 14 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Bài 1.6 trang 14 Chuyên đề Toán 10: Cho hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn sau:

$\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_1\\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_2\\ a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_3\end{array}\right.$

a) Giả sử (x₀; y₀; z₀) và (x₁; y₁; z₁) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình trên. Chứng minh rằng $\left(\frac{x_0+x_1}{2};\frac{y_0+y_1}{2};\frac{z_0+z_1}{2}\right)$ cũng là một nghiệm của hệ.

b) Sử dụng kết quả của câu a) chứng minh rằng, nếu hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có hai nghiệm phân biệt thì nó sẽ có vô số nghiệm.

Lời giải:

a) Vì (x₀; y₀; z₀) và (x₁; y₁; z₁) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình nên:

$\left\{\begin{array}{l}{a}_1{x}_0+b_1{y}_0+c_1{z}_0=d_1\\ a_2{x}_0+b_2{y}_0+c_2{z}_0=d_2\\ a_3{x}_0+b_3{y}_0+c_3{z}_0=d_3\end{array}\right.$ và  $\left\{\begin{array}{l}{a}_1{x}_1+b_1{y}_1+c_1{z}_1=d_1\\ a_2{x}_1+b_2{y}_1+c_2{z}_1=d_2\\ a_3{x}_1+b_3{y}_1+c_3{z}_1=d_3\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\left(a_1{x}_0+b_1{y}_0+c_1{z}_0\right)+\left(a_1{x}_1+b_1{y}_1+c_1{z}_1\right)=2d_1\\ \left(a_2{x}_0+b_2{y}_0+c_2{z}_0\right)+\left(a_2{x}_1+b_2{y}_1+c_2{z}_1\right)=2d_2\\ \left(a_3{x}_0+b_3{y}_0+c_3{z}_0\right)+\left(a_3{x}_1+b_3{y}_1+c_3{z}_1\right)=2d_3\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{a}_1\left(x_0+x_1\right)+b_1\left(y_0+y_1\right)+c_1\left(z_0+z_1\right)=2d_1\\ a_2\left(x_0+x_1\right)+b_2\left(y_0+y_1\right)+c_2\left(z_0+z_1\right)=2d_2\\ a_3\left(x_0+x_1\right)+b_3\left(y_0+y_1\right)+c_3\left(z_0+z_1\right)=2d_3\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{a}_1\frac{\left(x_0+x_1\right)}{2}+b_1\frac{\left(y_0+y_1\right)}{2}+c_1\frac{\left(z_0+z_1\right)}{2}=d_1\\ a_2\frac{\left(x_0+x_1\right)}{2}+b_2\frac{\left(y_0+y_1\right)}{2}+c_2\frac{\left(z_0+z_1\right)}{2}=d_2\\ a_3\frac{\left(x_0+x_1\right)}{2}+b_3\frac{\left(y_0+y_1\right)}{2}+c_3\frac{\left(z_0+z_1\right)}{2}=d_3\end{array}\right.$

Mặt khác do (x₀; y₀; z₀) và (x₁; y₁; z₁) phân biệt nên $\left(\frac{x_0+x_1}{2};\frac{y_0+y_1}{2};\frac{z_0+z_1}{2}\right)$ cũng đôi một phân biệt với (x₀; y₀; z₀) và (x₁; y₁; z₁).

Do đó $\left(\frac{x_0+x_1}{2},\frac{y_0+y_1}{2},\frac{Z_0+z_1}{2}\right)$ cũng là một nghiệm của hệ.

b) Xét hệ phương trình bậc nhất ba ẩn $\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_1\\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_2\\ a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_3\end{array}\right.$.

có (x₀; y₀; z₀) và (x₁; y₁; z₁) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình này.

Giả sử hệ chỉ có n nghiệm đôi một phân biệt (x₀; y₀; z₀), (x₁; y₁; z₁), ..., (x_n; y_n; z_n).

Ta chọn ra hai nghiệm (x_i; y_i; z_i) và (x_j; y_j; z_j) thoả mãn x_i và x_j là hai số nhỏ nhất trong tập hợp A = {x₀; x₁; ...; x_n}.

Khi đó, áp dụng câu a) ta được $\left(\frac{x_i+x_j}{2};\frac{y_i+y_j}{2};\frac{z_i+z_j}{2}\right)$ cũng là một nghiệm của hệ.

Mặt khác $\frac{x_i+x_j}{2}$ khác x_i, x_j và $\frac{x_i+x_j}{2}$ < max{x_i, x_j} nên $\frac{x_i+x_j}{2}$ không trùng với phần tử nào trong tập hợp A. Do đó hệ đã cho có n + 1 nghiệm phân biệt (vô lí).

Vậy hệ này có vô số nghiệm.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• HĐ1 trang 6 Chuyên đề Toán 10: Khái niệm hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. Xét hệ phương trình với ẩn là x, y, z sau: x + y + z = 2; x + 2y + 3z = 1; 2x + y + 3z = -1 ....

• Luyện tập 1 trang 7 Chuyên đề Toán 10: Hệ nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem bộ ba số (–3; 2;–1) ....

• HĐ2 trang 7 Chuyên đề Toán 10: Hệ bậc nhất ba ẩn có dạng tam giác. Cho hệ phương trình: x + y - 2z = 3; y + z = 7; 2z = 4 ....

• Luyện tập 2 trang 8 Chuyên đề Toán 10: Giải hệ phương trình: 2x = 3; x + y = 2; 2x - 2y + z = -1 ....

• HĐ3 trang 8 Chuyên đề Toán 10: Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng phương pháp Gauss. Cho hệ phương trình: x + y - 2z = 3; -x + y + 6z = 13; 2x + y - 9z = -5 ....

• Luyện tập 3 trang 11 Chuyên đề Toán 10: Giải các hệ phương trình sau: a) 2x + y - 3z = 3; x + y + 3z = 2; 3x - 2y + z = 1 ....

• Vận dụng 1 trang 11 Chuyên đề Toán 10: Hà mua văn phòng phẩm cho nhóm bạn cùng lớp gồm Hà, Lan và Minh hết tổng cộng 820 nghìn đồng. Hà quên không lưu hoá đơn của mỗi bạn, nhưng nhớ được rằng số tiền trả cho Lan ....

• HĐ4 trang 12 Chuyên đề Toán 10: Dùng máy tính cầm tay đề tìm nghiệm của hệ: -2x - 3y + z = 5; 2x + y + 2z = -3; -x + 2y - 3z = 2 ....

• Luyện tập 4 trang 13 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng máy tính cầm tay tìm nghiệm của các hệ phương trình trong Ví dụ 3, Ví dụ 4, Ví dụ 5 và Luyện tập 3 ....

• Vận dụng 2 trang 13 Chuyên đề Toán 10: Tại một quốc gia, khoảng 400 loài động vật nằm trong danh sách các loài có nguy cơ tuyệt chủng. Các nhóm động vật có vú, chim và cá chiếm 55% các loài có nguy cơ tuyệt chủng ....

• Bài 1.1 trang 14 Chuyên đề Toán 10: Hệ nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem bộ số (2; 0;–1) ....

• Bài 1.2 trang 14 Chuyên đề Toán 10: Giải các hệ phương trình sau: a) 2x - y - z = 20; x + y = -5; x = 10 ....

• Bài 1.3 trang 14 Chuyên đề Toán 10: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss: a) 2x - y - z = 2; x + y = 3; x - y + z = 2 ....

• Bài 1.4 trang 14 Chuyên đề Toán 10: Ba người cùng làm việc cho một công ty với vị trí lần lượt là quản lí kho, quản lí văn phòng và tài xế xe tải. Tổng tiền lương hằng năm của người quản lí kho và người quản lí văn phòng là 164 triệu đồng, ....

• Bài 1.5 trang 14 Chuyên đề Toán 10: Năm ngoái, người ta có thể mua ba mẫu xe ôtô của ba hãng X, Y, Z với tổng số tiền là 2,8 tỉ đồng. Năm nay, do lạm phát, để mua ba chiếc xe đó cần 3,018 tỉ đồng ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---