Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss trang 14 Chuyên đề Toán 10

Trang trước Trang sau

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Bài 1.3 trang 14 Chuyên đề Toán 10: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:

a) $\{\begin{cases} 2 x - y - z = 2 \\ x + y = 3 \\ x - y + z = 2 \end{cases}$ ;

b) $\{\begin{cases} 3 x - y - z = 2 \\ x + 2 y + z = 5 \\ - x + y = 2 \end{cases}$ ;

c) $\{\begin{cases} x - 3 y - z = - 6 \\ 2 x - y + 2 z = 6 \\ 4 x - 7 y = - 6 \end{cases}$ ;

d) $\{\begin{cases} x - 3 y - z = - 6 \\ 2 x - y + 2 z = 6 \\ 4 x - 7 y = 3 \end{cases}$ ;

e) $\{\begin{cases} 3 x - y - 7 z = 2 \\ 4 x - y + z = 11 \\ - 5 x - y - 9 z = - 22 \end{cases}$ ;

f) $\{\begin{cases} 2 x - 3 y - 4 z = - 2 \\ 5 x - y - 2 z = 3 \\ 7 x - 4 y - 6 z = 1 \end{cases}$ .

Kiểm tra lại kết quả tìm được bằng cách sử dụng máy tính cầm tay.

Quảng cáo

Lời giải:

a) $\{\begin{cases} 2 x - y - z = 2 \\ x + y = 3 \\ x - y + z = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - y - z = 2 \\ x + y = 3 \\ 3 x - 2 y = 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - y - z = 2 \\ x + y = 3 \\ 5 y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - y - z = 2 \\ x + 1 = 3 \\ y = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2.2 - 1 - z = 2 \\ x = 2 \\ y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} z = 1 \\ x = 2 \\ y = 1 \end{array} .$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = (2; 1; 1).

b) $\{\begin{cases} 3 x - y - z = 2 \\ x + 2 y + z = 5 \\ - x + y = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - y - z = 2 \\ 4 x + y = 7 \\ - x + y = 2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - y - z = 2 \\ 4 x + y = 7 \\ 5 y = 15 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - y - z = 2 \\ 4 x + 3 = 7 \\ y = 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3.1 - 3 - z = 2 \\ x = 1 \\ y = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} z = - 2 \\ x = 1 \\ y = 3 \end{cases}$ .

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = (1; 3; –2).

c) $\{\begin{cases} x - 3 y - z = - 6 \\ 2 x - y + 2 z = 6 \\ 4 x - 7 y = - 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 3 y - z = - 6 \\ 4 x - 7 y = - 6 \\ 4 x - 7 y = - 6 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 3 y - z = - 6 \\ 4 x - 7 y = - 6 \end{cases}$

Rút x theo y từ phương trình thứ hai của hệ ta được x = $\frac{7 y - 6}{4}$ . Rút z theo x và y từ phương trình thứ nhất của hệ ta được z = x – 3y + 6 = $\frac{7 y - 6}{4} - 3 y + 6 = \frac{- 5 y + 18}{4}$ . Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là S = { $(\frac{7 y - 6}{4}; y, \frac{- 5 y + 18}{4})$ | y ∈ $ℝ$ }

d) $\{\begin{cases} x - 3 y - z = - 6 \\ 2 x - y + 2 z = 6 \\ 4 x - 7 y = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 3 y - z = - 6 \\ 4 x - 7 y = - 6 \\ 4 x - 7 y = 3 \end{cases}$ .

Từ hai phương trình cuối, suy ra –6 = 3, điều này vô lí. Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

e) $\{\begin{cases} 3 x - y - 7 z = 2 \\ 4 x - y + z = 11 \\ - 5 x - y - 9 z = - 22 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - y - 7 z = 2 \\ - y - 31 z = - 25 \\ - 5 x - y - 9 z = - 22 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - y - 7 z = 2 \\ - y - 31 z = - 25 \\ - 8 y - 62 z = - 56 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - y - 7 z = 2 \\ - y - 31 z = - 25 \\ - 186 z = - 144 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - y - 7 z = 2 \\ - y - 31. \frac{24}{31} = - 25 \\ z = \frac{24}{31} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{87}{31} \\ y = 1 \\ z = \frac{24}{31} \end{cases} .$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = $(\frac{87}{31}; 1; \frac{24}{31})$ .

f) $\{\begin{cases} 2 x - 3 y - 4 z = - 2 \\ 5 x - y - 2 z = 3 \\ 7 x - 4 y - 6 z = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - 3 y - 4 z = - 2 \\ - 13 y - 16 z = - 16 \\ 7 x - 4 y - 6 z = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - 3 y - 4 z = - 2 \\ - 13 y - 16 z = - 16 \\ - 13 y - 16 z = - 16 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - 3 y - 4 z = - 2 \\ - 13 y - 16 z = - 16 \end{cases}$ .