Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng phương pháp Gauss

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

HĐ3 trang 8 Chuyên đề Toán 10: Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng phương pháp Gauss. Cho hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}x+y-2z=3\\ -x+y+6z=13\\ 2x+y-9z=-5\end{array}\right.$.

a) Khử ẩn x của phương trình thứ hai bằng cách cộng phương trình này với phương trình thứ nhất. Viết phương trình nhận được (phương trình này không còn chứa ẩn x và là phương trình thứ hai của hệ mới, tương đương với hệ ban đầu).

b) Khử ẩn x của phương trình thứ ba bằng cách nhân phương trình thứ nhất với –2 và cộng với phương trình thứ ba. Viết phương trình thứ ba mới nhận được. Từ đó viết hệ mới nhận được sau hai bước trên (đã khử x ở hai phương trình cuối).

c) Làm tương tự đối với hệ mới nhận được ở câu b), từ phương trình thứ hai và thứ ba khử ẩn y ở phương trình thứ ba. Viết hệ dạng tam giác nhận được.

d) Giải hệ dạng tam giác nhận được ở câu c). Từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Lời giải:

a) Cộng phương trình thứ hai với phương trình thứ nhất, ta được:

(x + y – 2z) + (–x + y + 6z) = 3 = 13  ⇔  2y + 4z = 16  ⇔  y + 2z = 8.

b) Nhân phương trình thứ nhất với –2 và cộng với phương trình thứ ba, ta được:

–2(x + y – 2z) + (2x + y – 9z) = –2 . 3 + (–5) ⇔  –y – 5z = –11 ⇔  y + 5z = 11.

Hệ mới nhận được sau hai bước trên là: $\left\{\begin{array}{l}x+y-2z=3\\ y+2z=8\\ y+5z=11\end{array}\right..$

c) Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ ba, ta được:

(y + 2z) – (y + 5z) = 8 – 11 ⇔  –3z = –3 ⇔ z = 1.

Hệ tam giác nhận được là: $\left\{\begin{array}{l}x+y-2z=3\\ y+2z=8\\ z=1\end{array}\right.$.

d) $\left\{\begin{array}{l}x+y-2z=3\\ y+2z=8\\ z=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y-2z=3\\ y+2.1=8\\ z=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y-2z=3\\ y=6\\ z=1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x+6-2.1=3\\ y=6\\ z=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=6\\ z=1\end{array}\right..$

Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y; z) = (–1; 6; 1).

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• HĐ1 trang 6 Chuyên đề Toán 10: Khái niệm hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. Xét hệ phương trình với ẩn là x, y, z sau: x + y + z = 2; x + 2y + 3z = 1; 2x + y + 3z = -1 ....

• Luyện tập 1 trang 7 Chuyên đề Toán 10: Hệ nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem bộ ba số (–3; 2;–1) ....

• HĐ2 trang 7 Chuyên đề Toán 10: Hệ bậc nhất ba ẩn có dạng tam giác. Cho hệ phương trình: x + y - 2z = 3; y + z = 7; 2z = 4 ....

• Luyện tập 2 trang 8 Chuyên đề Toán 10: Giải hệ phương trình: 2x = 3; x + y = 2; 2x - 2y + z = -1 ....

• Luyện tập 3 trang 11 Chuyên đề Toán 10: Giải các hệ phương trình sau: a) 2x + y - 3z = 3; x + y + 3z = 2; 3x - 2y + z = 1 ....

• Vận dụng 1 trang 11 Chuyên đề Toán 10: Hà mua văn phòng phẩm cho nhóm bạn cùng lớp gồm Hà, Lan và Minh hết tổng cộng 820 nghìn đồng. Hà quên không lưu hoá đơn của mỗi bạn, nhưng nhớ được rằng số tiền trả cho Lan ....

• HĐ4 trang 12 Chuyên đề Toán 10: Dùng máy tính cầm tay đề tìm nghiệm của hệ: -2x - 3y + z = 5; 2x + y + 2z = -3; -x + 2y - 3z = 2 ....

• Luyện tập 4 trang 13 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng máy tính cầm tay tìm nghiệm của các hệ phương trình trong Ví dụ 3, Ví dụ 4, Ví dụ 5 và Luyện tập 3 ....

• Vận dụng 2 trang 13 Chuyên đề Toán 10: Tại một quốc gia, khoảng 400 loài động vật nằm trong danh sách các loài có nguy cơ tuyệt chủng. Các nhóm động vật có vú, chim và cá chiếm 55% các loài có nguy cơ tuyệt chủng ....

• Bài 1.1 trang 14 Chuyên đề Toán 10: Hệ nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem bộ số (2; 0;–1) ....

• Bài 1.2 trang 14 Chuyên đề Toán 10: Giải các hệ phương trình sau: a) 2x - y - z = 20; x + y = -5; x = 10 ....

• Bài 1.3 trang 14 Chuyên đề Toán 10: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss: a) 2x - y - z = 2; x + y = 3; x - y + z = 2 ....

• Bài 1.4 trang 14 Chuyên đề Toán 10: Ba người cùng làm việc cho một công ty với vị trí lần lượt là quản lí kho, quản lí văn phòng và tài xế xe tải. Tổng tiền lương hằng năm của người quản lí kho và người quản lí văn phòng là 164 triệu đồng, ....

• Bài 1.5 trang 14 Chuyên đề Toán 10: Năm ngoái, người ta có thể mua ba mẫu xe ôtô của ba hãng X, Y, Z với tổng số tiền là 2,8 tỉ đồng. Năm nay, do lạm phát, để mua ba chiếc xe đó cần 3,018 tỉ đồng ....

• Bài 1.6 trang 14 Chuyên đề Toán 10: Cho hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn sau: a₁x + b₁y + c₁z = d₁; a₂ + b₂y + c₂z = d₂; a₃ + b₃y + c₃z = d₃ ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều

---