Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E, M, N thỏa mãn vectơ AD = 1/3 vectơ AB, vectơ AE = 2/5 vectơ AC, vectơ AM = 1/3 vectơ BC

Giải sách bài tập Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Bài 55 trang 100 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E, M, N thỏa mãn $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B}$ , $\vec{A E} = \frac{2}{5} \vec{A C}$ , $\vec{B M} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ , $\vec{A N} = k \vec{A M}$ với k là số thực. Đặt $\vec{a} = \vec{A B}$ , $\vec{b} = \vec{A C}$ . Biểu thị các vectơ $\vec{A N}$ , $\vec{D E}$ , $\vec{E N}$ theo các vectơ $\vec{a} = \vec{A B}$ , $\vec{b} = \vec{A C}$ và tìm k để ba điểm D, E, N thẳng hàng.

Quảng cáo

Lời giải

Ta có: $\vec{A N} = k \vec{A M} = k . (\vec{A B} + \vec{B M}) = k . (\vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{B C})$ $= k . (\vec{A B} + \frac{1}{3} (\vec{A C} - \vec{A B}))$

= $k . (\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C})$ = $k . (\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b})$ .

$\vec{D E} = \vec{A E} - \vec{A D} = \frac{2}{5} \vec{A C} - \frac{1}{3} \vec{A B} = - \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{5} \vec{A C}$

$= - \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{5} \vec{b}$

$\vec{E N} = \vec{A N} - \vec{A E} = k . (\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}) - \frac{2}{5} \vec{A C}$

$= \frac{2 k}{3} \vec{A B} + (\frac{k}{3} - \frac{2}{5}) \vec{A C}$

$= \frac{2 k}{3} \vec{a} + (\frac{k}{3} - \frac{2}{5}) \vec{b}$

Để ba điểm D, E, N thẳng hàng thì tồn tại t ∈ ℝ sao cho $\vec{E N} = t \vec{D N}$

⇔ $\frac{2 k}{3} \vec{a} + (\frac{k}{3} - \frac{2}{5}) \vec{b} = t (- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{5} \vec{b})$

⇔ $\frac{2 k}{3} \vec{a} + (\frac{k}{3} - \frac{2}{5}) \vec{b} = - \frac{t}{3} \vec{a} + \frac{2 t}{5} \vec{b}$

⇔ $\{\begin{cases} \frac{2 k}{3} = - \frac{t}{3} \\ \frac{k}{3} - \frac{2}{5} = \frac{2 t}{5} \end{cases}$ ⇔ $\{\begin{cases} k = \frac{6}{17} \\ t = - \frac{12}{17} \end{cases}$

Do đó ba điểm D, E, N thẳng hàng khi k = $\frac{6}{17}$ .

Vậy $\vec{A N} = k . [\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}]$ , $\vec{D E} = - \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{5} \vec{b}$ , $\vec{E N} = \frac{2 k}{3} \vec{a} + (\frac{k}{3} - \frac{2}{5}) \vec{b}$ và với k = $\frac{6}{17}$ thì ba điểm D, E, N thẳng hàng.