Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p trang 29 SBT Toán 11

Trang trước Trang sau

SBT Toán 11 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 1

Bài 1.59 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p

a) y = sin x – cos x;

b) y = sin x + sin $(\frac{π}{3} - x)$ ;

c) y = sin⁴ x + cos⁴ x;

d) y = cos 2x + 2cos x – 1.

Quảng cáo

Lời giải:

a) Ta có y = sin x – cos x = $\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})$ .

Vì $- 1 \leq \sin (x - \frac{π}{4}) \leq 1$ nên $- \sqrt{2} \leq \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) \leq \sqrt{2}$ , với mọi $x \in ℝ$ .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $\sqrt{2}$ , đạt được khi $\sin (x - \frac{π}{4}) = 1$

$\Leftrightarrow x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ)$ $\Leftrightarrow x = \frac{3 π}{4} + k 2 π (k \in ℤ)$ >.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $- \sqrt{2}$ , đạt được khi $\sin (x - \frac{π}{4}) = - 1$

$\Leftrightarrow x - \frac{π}{4} = - \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ)$ $\Leftrightarrow x = - \frac{π}{4} + k 2 π (k \in ℤ)$ .

b) Ta có y = sin x + sin $(\frac{π}{3} - x)$ $= 2 \sin \frac{x + \frac{π}{3} - x}{2} \cos \frac{x - \frac{π}{3} + x}{2}$

$= 2 \sin \frac{π}{6} \cos (x - \frac{π}{6})$ $= 2. \frac{1}{2} \cos (x - \frac{π}{6}) = \cos (x - \frac{π}{6})$ .

Ta có $- 1 \leq \cos (x - \frac{π}{6}) \leq 1 \forall x \in ℝ$ .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi $\cos (x - \frac{π}{6}) = 1$ $\Leftrightarrow x - \frac{π}{6} = k 2 π (k \in ℤ)$ $\Leftrightarrow x = \frac{π}{6} + k 2 π (k \in ℤ)$ và giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 1, đạt được khi $\cos (x - \frac{π}{6}) = - 1$ $\Leftrightarrow x - \frac{π}{6} = π + k 2 π (k \in ℤ)$ $\Leftrightarrow x = \frac{7 π}{6} + k 2 π (k \in ℤ)$ .

c) Ta có y = sin⁴ x + cos⁴ x = (sin² x + cos² x)² – 2sin² x cos² x

= 1 – 2 (sin x cos x)² = $1 - 2. {(\frac{\sin 2 x}{2})}^{2}$ = $1 - \frac{1}{2} \sin^{2} 2 x$

= $1 - \frac{1}{2} . \frac{1 - \cos 4 x}{2}$ = $1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos 4 x$ = $\frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4 x$ .

Vì – 1 ≤ cos 4x ≤ 1 nên $- \frac{1}{4} \leq \frac{1}{4} \cos 4 x \leq \frac{1}{4}$ , do đó $\frac{3}{4} - \frac{1}{4} \leq \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4 x \leq \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$

hay $\frac{1}{2} \leq \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4 x \leq 1 \forall x \in ℝ$ .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi cos 4x = 1 ⇔ 4x = k2π (k ∈ ℤ)

$\Leftrightarrow x = k \frac{π}{2} (k \in ℤ)$ .

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $\frac{1}{2}$ , đạt được khi cos 4x = – 1 ⇔ 4x = π + k2π (k ∈ ℤ)

$\Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k \frac{π}{2} (k \in ℤ)$ .

d) Ta có y = cos 2x + 2cos x − 1

= (2cos² x – 1) + 2cos x – 1

= 2cos² x + 2cos x – 2

= 2t² + 2t – 2 với t = cos x ∈ [– 1; 1].

Xét hàm số y = 2t² + 2t – 2 trên đoạn [– 1; 1]. Hàm số này có đồ thị như trong hình vẽ dưới đây.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p trang 29 SBT Toán 11

Từ đồ thị ở hình trên ta suy ra được giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 2, đạt được khi cos x = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ ℤ) và giá trị nhỏ nhất của hàm số là $- \frac{5}{2}$ , đạt được khi $\cos x = - \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow x = \pm \frac{2 π}{3} + k 2 π (k \in ℤ)$ .