Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a

SBT Toán 11 Kết nối tri thức Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 7.23 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a.

a) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (A'BD) và (ABCD).

b) Tính côsin của số đo góc nhị diện [A', BD, C'].

Lời giải:

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD, suy ra O là trung điểm của AC, BD.

Vì ABCD là hình vuông nên AO $\perp$ BD.

Xét tam giác A'AB vuông tại A, nên A'B = $\sqrt{A\text{'}{A}^2+A{B}^2}=a\sqrt{2}$ .

Xét tam giác A'AD vuông tại A, nên A'D = $\sqrt{A\text{'}{A}^2+A{D}^2}=a\sqrt{2}$ .

Xét tam giác A'BD có A'D = A'B nên tam giác A'BD là tam giác cân mà A'O là trung tuyến nên A'O đồng thời là đường cao. Do đó A'O $\perp$ BD.

Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (A'BD) và (ABCD) bằng góc giữa đường thẳng AO và A'O mà (AO,A'O) = $\widehat{AOA\text{'}}$ .

Xét tam giác ADC vuông tại D, có AC = $\sqrt{A{D}^2+D{C}^2}=a\sqrt{2}$ .

Vì O là trung điểm của AC nên AO = $\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$;

Xét tam giác A'AO vuông tại A, có OA' = $\sqrt{AA{\text{'}}^2+O{A}^2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$ .

Xét tam giác AA'O vuông tại A, có cos$\widehat{AOA\text{'}}=\frac{AO}{A\text{'}O}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Vậy côsin của góc giữa hai mặt phẳng (A'BD) và (ABCD) bằng $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

b) Xét tam giác BCC' vuông tại C có: C'B = $\sqrt{B{C}^2+CC{\text{'}}^2}=a\sqrt{2}$.

Xét tam giác C'CD vuông tại C có: C'D = $\sqrt{D{C}^2+CC{\text{'}}^2}=a\sqrt{2}$.

Xét tam giác C'BD có C'B = C'D nên tam giác C'BD cân tại C' mà C'O là trung tuyến nên C'O đồng thời là đường cao hay C'O $\perp$ BD.

Vì A'O $\perp$ BD, C'O $\perp$ BD nên góc nhị diện [A', BD, C'] bằng $\widehat{A\text{'}OC\text{'}}$.

Ta có OA' = C'O = $\frac{a\sqrt{6}}{2}$; A'C' = a$\sqrt{2}$.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác A'OC' ta được:

cos$\widehat{A\text{'}OC\text{'}}=\frac{OA{\text{'}}^2+OC{\text{'}}^2-A\text{'}C{\text{'}}^2}{2.OA\text{'}.OC\text{'}}=\frac{1}{3}$.

Vậy côsin của số đo góc nhị diện [A', BD, C'] bằng $\frac{1}{3}$.

Lời giải SBT Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc hay khác:

• Bài 7.19 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của CD, kẻ AH vuông góc với BM tại H ....

• Bài 7.20 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD có AC = BC, AD = BD. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng (CDM) $\perp$ (ABC) và (CDM) $\perp$ (ABD) ....

• Bài 7.21 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a, góc BAD bằng 60°. Kẻ OH vuông góc với SC tại H ....

• Bài 7.22 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính côsin góc giữa hai mặt phẳng sau ....

• Bài 7.24 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết (SAB) $\perp$ (ABCD), (SAD) $\perp$ (ABCD) và SA = a ....

• Bài 7.25 trang 35 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD) ....

• Bài 7.26 trang 35 SBT Toán 11 Tập 2: Một viên bi được thả lăn trên một mặt phẳng nằm nghiêng (so với mặt phẳng nằm ngang) ....

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 11 Bài 26: Khoảng cách

• SBT Toán 11 Bài 27: Thể tích

• SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 7

• SBT Toán 11 Bài 28: Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

• SBT Toán 11 Bài 29: Công thức cộng xác suất

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức

---