Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết (SAB) vuông góc (ABCD)

SBT Toán 11 Kết nối tri thức Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 7.24 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết (SAB) $\perp$ (ABCD), (SAD) $\perp$ (ABCD) và SA = a. Tính côsin của số đo góc nhị diện [S, BD, C] và góc nhị diện [B, SC, D].

Lời giải:

*) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Ta có (SAB) $\perp$ (ABCD), (SAD) $\perp$ (ABCD) nên SA $\perp$ (ABCD). Suy ra SA $\perp$ BD.

Mà AC $\perp$ BD (do ABCD là hình vuông) nên BD $\perp$ (SAC). Do đó BD $\perp$ SO.

Vì BD $\perp$ SO, CO $\perp$ BD nên góc nhị diện [S, BD, C] bằng $\widehat{SOC}$.

Ta có ABCD là hình vuông cạnh a nên AC = a$\sqrt{2}$, AO = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Vì tam giác SAO vuông tại A nên SO = $\sqrt{S{A}^2+A{O}^2}=\sqrt{a^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$ và cos$\widehat{SOC}$ = -cos$\widehat{SOA}$ = -$\frac{OA}{SO}$ = -$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Vậy côsin của số đo góc nhị diện [S, BD, C] bằng -$\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

*) Kẻ BM $\perp$ SC tại M.

Vì ABCD là hình vuông nên BD $\perp$ AC mà BD $\perp$ SA (do SA $\perp$ (ABCD)).

Do đó BD $\perp$ (SAC), suy ra BD $\perp$ SC mà BM $\perp$ SC nên SC $\perp$ (BDM).

Suy ra SC $\perp$ DM.

Xét $∆$SAB và $∆$SAD có SA chung, $\widehat{SAB}=\widehat{SAD}$ = 90^o, AB = AD nên $∆$SAB = $∆$SAD.

Suy ra SB = SD (hai cạnh tương ứng).

Xét $∆$SBC và $∆$SDC có SB = SD, SC chung, BC = DC nên $∆$SBC = $∆$SDC.

Suy ra BM = DM (đều là đường cao tương ứng với đáy SC).

Vì BM $\perp$ SC và DM $\perp$ SC nên góc nhị diện [B, SC, D] bằng $\widehat{BMD}$.

Có BC $\perp$ AB, BC $\perp$ SA (SA $\perp$ (ABCD)) nên BC $\perp$ (SAB) ⇒ BC $\perp$ SB hay tam giác SBC vuông tại B.

Xét tam giác SAB vuông tại A, có SB = $\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=a\sqrt{2}$.

Xét tam giác SBC vuông tại B, có SC = $\sqrt{S{B}^2+B{C}^2}=a\sqrt{3}$ và

BM.SC = SB.BC $\Rightarrow$DM = BM = $\frac{SB.BC}{SC}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác BDM, có cos$\widehat{BMD}=\frac{B{M}^2+D{M}^2-B{D}^2}{2.BM.DM}=-\frac{1}{2}$.

Vậy côsin của số đo góc nhị diện [B, SC, D] bằng -$\frac{1}{2}$.

Lời giải SBT Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc hay khác:

• Bài 7.19 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của CD, kẻ AH vuông góc với BM tại H ....

• Bài 7.20 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD có AC = BC, AD = BD. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng (CDM) $\perp$ (ABC) và (CDM) $\perp$ (ABD) ....

• Bài 7.21 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a, góc BAD bằng 60°. Kẻ OH vuông góc với SC tại H ....

• Bài 7.22 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính côsin góc giữa hai mặt phẳng sau ....

• Bài 7.23 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a ....

• Bài 7.25 trang 35 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD) ....

• Bài 7.26 trang 35 SBT Toán 11 Tập 2: Một viên bi được thả lăn trên một mặt phẳng nằm nghiêng (so với mặt phẳng nằm ngang) ....

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 11 Bài 26: Khoảng cách

• SBT Toán 11 Bài 27: Thể tích

• SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 7

• SBT Toán 11 Bài 28: Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

• SBT Toán 11 Bài 29: Công thức cộng xác suất

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức

---