Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều

SBT Toán 11 Kết nối tri thức Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 7.25 trang 35 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi H, M lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và AB.

a) Tính côsin của góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy (ABCD).

b) Chứng minh rằng (SMD) $\perp$ (SHC).

Lời giải:

a) Vì tam giác SAD đều, SH là trung tuyến nên SH là đường cao hay SH $\perp$ AD.

Ta có (SAD) $\perp$ (ABCD) và SH $\perp$ AD nên SH $\perp$ (ABCD).

Suy ra CH là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SC và CH, mà (SC,CH) = $\widehat{SCH}$.

Vì tam giác SAD đều cạnh a, SH là đường cao nên SH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Xét tam giác DHC vuông tại D, có HC = $\sqrt{D{C}^2+D{H}^2}=\sqrt{a^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.

Xét tam giác SHC vuông tại H, có SC = $\sqrt{S{H}^2+C{H}^2}=\sqrt{{\frac{3a}{4}}^2+\frac{5a^2}{4}}=a\sqrt{2}$, cos$\widehat{SCH}=\frac{HC}{SC}=\frac{\sqrt{10}}{4}$.

Vậy côsin của góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy (ABCD) bằng $\frac{\sqrt{10}}{4}$ .

b) Vì ABCD là hình vuông nên AB = AD mà M, H lần lượt là trung điểm của AB và AD nên DH = HA = AM = MB.

Xét $∆$CDH và $∆$DAM có: CD = DA; $\widehat{CDH}=\widehat{DAM}$ = 90^o; DH = AM.

Do đó $∆$CDH = $∆$DAM.

Vì $∆$CDH = $∆$DAM suy ra $\widehat{CHD}=\widehat{DMA}$.

Do đó $\widehat{HDM}+\widehat{DHC}=\widehat{HDM}+\widehat{DMA}$= 90^o. Suy ra DM $\perp$ CH.

Vì SH $\perp$ (ABCD) nên SH $\perp$ DM mà DM $\perp$ CH. Do đó DM $\perp$ (SCH).

Mà DM $\subset$ (SMD) nên (SMD) $\perp$ (SHC).

Lời giải SBT Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc hay khác:

• Bài 7.19 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của CD, kẻ AH vuông góc với BM tại H ....

• Bài 7.20 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD có AC = BC, AD = BD. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng (CDM) $\perp$ (ABC) và (CDM) $\perp$ (ABD) ....

• Bài 7.21 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a, góc BAD bằng 60°. Kẻ OH vuông góc với SC tại H ....

• Bài 7.22 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính côsin góc giữa hai mặt phẳng sau ....

• Bài 7.23 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a ....

• Bài 7.24 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết (SAB) $\perp$ (ABCD), (SAD) $\perp$ (ABCD) và SA = a ....

• Bài 7.26 trang 35 SBT Toán 11 Tập 2: Một viên bi được thả lăn trên một mặt phẳng nằm nghiêng (so với mặt phẳng nằm ngang) ....

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 11 Bài 26: Khoảng cách

• SBT Toán 11 Bài 27: Thể tích

• SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 7

• SBT Toán 11 Bài 28: Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

• SBT Toán 11 Bài 29: Công thức cộng xác suất

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức

---