Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn và góc A = 60 độ. Tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D

Giải sách bài tập Toán lớp 7 Bài 6: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc

Bài 41 trang 81 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn và $\hat{A}=60°.$Tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D, tia phân giác của góc ACB cắt AB tại E. BD cắt CE tại I. Tia phân giác của góc BIC cắt BC tại F. Chứng minh:

a) $\widehat{BIC}=120°$;

b) ∆BEI = ∆BFI;

c) BC = BE + CD.

Lời giải:

a) Vì BD là phân giác của góc ABC nên $\widehat{ABD}=\widehat{CBD}=\frac{\widehat{ABC}}{2}$.

Vì CE là phân giác của góc ACB nên $\widehat{ACE}=\widehat{ECB}=\frac{\widehat{ACB}}{2}$.

Xét ∆ABC có: $\hat{A}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°-\hat{A}=180°-60°=120°$

Xét ∆IBC có: $\widehat{BIC}+\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Hay $\widehat{BIC}+\frac{\widehat{ABC}}{2}+\frac{\widehat{ACB}}{2}=180°$

Suy ra $\widehat{BIC}=180°-\frac{\widehat{ABC}+\widehat{ACB}}{2}=180°-\frac{120°}{2}=120°$

Vậy $\widehat{BIC}=120°.$

b) Vì IF là phân giác của góc BIC nên $\widehat{BIF}=\widehat{CIF}=\frac{\widehat{BIC}}{2}=\frac{120°}{2}=60°$

Ta có $\widehat{BIC}+\widehat{BIE}=180°$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\widehat{BIE}=180°-\widehat{BIC}=180°-120°=60°$

Xét ∆BEI và ∆BFI có:

$\widehat{EBI}=\widehat{FBI}$ (chứng minh câu a),

BI là cạnh chung,

$\widehat{EIB}=\widehat{FIB}$ (cùng bằng 60°),

Do đó ∆BEI = ∆BFI (g.c.g).

Vậy ∆BEI = ∆BFI.

c) Do ∆BEI = ∆BFI (câu b) nên BE = BF (hai cạnh tương ứng).

Ta có $\widehat{BIC}+\widehat{CID}=180°$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\widehat{CID}=180°-\widehat{BIC}=180°-120°=60°$.

Xét ∆CFI và ∆CDI có:

$\widehat{FCI}=\widehat{DCI}$ (chứng minh câu a),

CI là cạnh chung,

$\widehat{CIF}=\widehat{CID}$ (cùng bằng 60°),

Suy ra ∆CFI = ∆CDI (g.c.g).

Do đó CF = CD (hai cạnh tương ứng).

Ta có: BC = BF + FC = BE + CD.

Vậy BC = BE + CD.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Bài 37 trang 81 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Nêu thêm một điều kiện để hai tam giác trong mỗi hình 31a, 31b, 31c, 31d là hai tam giác ....

• Bài 38 trang 81 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho ∆ABC = ∆A’B’C’. Vẽ AH vuông góc với BC tại H, A’H’ vuông góc với B’C’ tại H’ ....

• Bài 39 trang 81 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi D là trung điểm của BC. Vẽ CM vuông góc với AB tại M ....

• Bài 40 trang 81 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho Hình 32 có $\widehat{BAC}=90°$ , AH vuông góc với BC tại H, $\widehat{xAB}=\widehat{BAH}$ , Ay là tia đối của tia Ax ....

• Bài 42 trang 81 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có $\hat{A}=90°$, M là trung điểm của BC. Chứng minh BC = 2AM ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Cánh diều
• Giải SBT Toán 7 Cánh diều
• Giải lớp 7 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 7 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 7 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---