Cho Hình 32 có góc BAC = 90 độ, AH vuông góc với BC tại H, góc xAB = góc BAH, Ay là tia đối của tia Ax

Giải sách bài tập Toán lớp 7 Bài 6: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc

Bài 40 trang 81 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho Hình 32 có $\widehat{BAC}=90°$ , AH vuông góc với BC tại H, $\widehat{xAB}=\widehat{BAH}$ , Ay là tia đối của tia Ax. BD và CE vuông góc với xy lần lượt tại D và E. Chứng minh:

a) AC là tia phân giác của góc Hay;

b) BD + CE = BC;

c) DH vuông góc với HE.

Lời giải:

a) •Ta có $\widehat{xAy}=\widehat{xAB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAy}$

Hay $180°=\widehat{xAB}+90°+\widehat{CAy}$

Suy ra $\widehat{CAy}=90°-\widehat{xAB}$

•Ta có $\widehat{BAH}+\widehat{CAH}=\widehat{BAC}=90°$

Nên $\widehat{CAH}=90°-\widehat{BAH}$

Mà $\widehat{xAB}=\widehat{BAH}$(giả thiết)

Suy ra $\widehat{CAH}=\widehat{CAy}$

Do đó AC là tia phân giác của $\widehat{HAy}$

Vậy AC là tia phân giác của $\widehat{HAy}$ .

b)• Xét ∆ABD và ∆ABH có:

$\widehat{ADB}=\widehat{AHB}\left(=90°\right)$,

AB là cạnh chung,

$\widehat{DAB}=\widehat{HAB}$ (giả thiết),

Do đó ∆ABD = ∆ABH (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra BD = BH , AD = AH (các cặp cạnh tương ứng).

• Xét ∆ACE và ∆ACH có:

$\widehat{AEC}=\widehat{AHC}\left(=90°\right)$,

AC là cạnh chung,

$\widehat{CAH}=\widehat{CAE}$ (chứng minh câu a),

Do đó ∆ACE = ∆ACH (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra CE = CH, AE = AH (các cặp cạnh tương ứng).

•Ta có BC = BH + CH

Mà BD = BH, CE = CH.

Do đó BC = BD + CE.

Vậy BC = BD + CE.

c) Gọi I là giao điểm của AB và DH, K là giao điểm của EH và AC.

• Xét ∆ADI và ∆AHI có:

AD = AH (chứng minh câu b),

$\widehat{DAI}=\widehat{HAI}$ (do $\widehat{xAB}=\widehat{BAH}$ ),

AI là cạnh chung.

Do đó ∆ADI = ∆AHI (c.g.c).

Suy ra $\widehat{ADI}=\widehat{AHI}$ (hai góc tương ứng).

Hay $\widehat{ADH}=\widehat{AHD}$ .

• Xét ∆AHK và ∆AEK có:

AH = AE (chứng minh câu b),

$\widehat{HAK}=\widehat{EAK}$ (do $\widehat{HAC}=\widehat{EAC}$ ),

AK là cạnh chung

Do đó ∆AHK = ∆AEK (c.g.c)

Suy ra $\widehat{AHK}=\widehat{AEK}$ (hai góc tương ứng).

Hay $\widehat{AHE}=\widehat{AEH}$ .

Xét ∆ADH có: $\widehat{ADH}+\widehat{AHD}+\widehat{HAD}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác).

Mà $\widehat{ADH}=\widehat{AHD}$ nên $\widehat{AHD}=\frac{180°-\widehat{HAD}}{2}$

Xét ∆AEH có: $\widehat{AEH}+\widehat{AHE}+\widehat{HAE}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{AHE}=\widehat{AEH}$ nên $\widehat{AHE}=\frac{180°-\widehat{HAE}}{2}$

Ta có

$\widehat{DHE}=\widehat{AHD}+\widehat{AHE}=\frac{180°-\widehat{HAD}}{2}+\frac{180°-\widehat{HAE}}{2}$

$=\frac{360°-\left(\widehat{HAD}+\widehat{HAE}\right)}{2}=\frac{360°-180°}{2}=90°$

Suy ra DH ⊥ HE.

Vậy DH ⊥ HE.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Bài 37 trang 81 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Nêu thêm một điều kiện để hai tam giác trong mỗi hình 31a, 31b, 31c, 31d là hai tam giác ....

• Bài 38 trang 81 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho ∆ABC = ∆A’B’C’. Vẽ AH vuông góc với BC tại H, A’H’ vuông góc với B’C’ tại H’ ....

• Bài 39 trang 81 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi D là trung điểm của BC. Vẽ CM vuông góc với AB tại M ....

• Bài 41 trang 81 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn và $\hat{A}=60°.$Tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D ....

• Bài 42 trang 81 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có $\hat{A}=90°$, M là trung điểm của BC. Chứng minh BC = 2AM ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Cánh diều
• Giải SBT Toán 7 Cánh diều
• Giải lớp 7 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 7 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 7 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---