Cho bốn điểm A, B, C, D như Hình 4.40, trong đó AB = DC. Chứng minh rằng

Giải SBT Toán 7 Bài 15: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Bài 4.38 trang 66 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D như Hình 4.40, trong đó AB = DC. Chứng minh rằng:

a) AC = BD.

b) AD // BC.

Lời giải:

Gọi giao điểm của AC và BD là O.

a) Xét ∆ABC và ∆DCB có:

$\widehat{BAC}=\widehat{CDB}=90°$ (giả thiết)

AB = CD (giả thiết)

BC chung

Do đó, ∆ABC = ∆DCB (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra, AC = BD (hai cạnh tương ứng).

b) Vì ∆ABC = ∆DCB nên $\widehat{ACB}=\widehat{DBC}$ (hai góc tương ứng)

Xét tam giác OBC có:  

$\widehat{OCB}+\widehat{CBO}+\widehat{BOC}$ = 180°.

Mà $\widehat{OCB}=\widehat{CBO}$ do $\widehat{ACB}=\widehat{DBC}$ nên $2\widehat{CBO}+\widehat{BOC}$ = 180°

Suy ra $2\widehat{CBO}$ = 180° – $\widehat{BOC}$

Do đó, $\widehat{CBO} = \frac{180°-\widehat{BOC}}{2}$ (1)

Xét ∆ABD và ∆DCA có:  

AB = CD (giả thiết)

BD = AC (chứng minh trên)

AD chung

Do đó, ∆ABD = ∆DCA (c – c – c).

Suy ra, $\widehat{ADB}=\widehat{DAC}$.

Xét tam giác OAD có:

$\widehat{OAD}+\widehat{ADO}+\widehat{AOD}$ = 180°.

Mà $\widehat{OAD}=\widehat{ADO}$ do $\widehat{ADB}=\widehat{DAC}$ nên $2\widehat{ADO}+\widehat{AOD}$ = 180°

Suy ra  $2\widehat{ADO}$ = 180° – $\widehat{AOD}$

Do đó, $\widehat{ADO}=\frac{180°-\widehat{AOD}}{2}$ (2)

Mà $\widehat{AOD} = \widehat{BOC}$ (hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra, $\widehat{CBO}=\widehat{ADO}$ hay $\widehat{CBD}=\widehat{ADB}$.

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Bài 4.31 trang 64 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 1: Trong mỗi hình sau (H.4.33) có các cặp tam giác vuông nào bằng nhau ....

• Bài 4.32 trang 64 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 1: Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.34. Biết rằng E là trung điểm của BC ....

• Bài 4.33 trang 65 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 1: Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.35. Biết rằng AC vuông góc với BD, EA = EB và EC = ED ....

• Bài 4.34 trang 65 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 1: Cho hình vuông ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD (H.4.36) ....

• Bài 4.35 trang 65 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D như Hình 4.37. Biết rằng ∠DAB = ∠CAB, hãy chứng minh CB = DB ....

• Bài 4.36 trang 65 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 1: Cho AH và DK lần lượt là hai đường cao của hai tam giác ABC và DEF như Hình 4.38 ....

• Bài 4.37 trang 66 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 1: Cho AH và DK lần lượt là hai đường cao của tam giác ABC và DEF như Hình 4.39 ....

• Bài 4.39 trang 66 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AD và BC lần lượt lấy hai điểm E và F sao cho AE = CF (H.4.41) ....

• Bài 4.40 trang 66 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 1: Cho năm điểm A, B, C, D, E như Hình 4.42, trong đó DA = DC, DB = DE ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 7 Kết nối tri thức
• Giải lớp 7 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 7 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 7 Cánh diều (các môn học)

---