Cho tam giác đều ABC cạnh a. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các hình chữ nhật

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Đa giác đều. Hình đa giác đều trong thực tiễn - Cánh diều

Bài 10 trang 108 SBT Toán 9 Tập 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các hình chữ nhật ABEF, BCIJ và CAGH sao cho AF = BJ = CH = x. Tìm hệ thức liên hệ giữa a2 và x2 để hình lục giác EFGHIJ là lục giác đều.

Lời giải:

Gọi P là trung điểm của BC và Q là giao điểm của các đường thẳng AP và FG.

Xét ∆ABC đều có AP là đường trung tuyến nên đồng thời là đường phân giác của tam giác.

Do đó: $\widehat{BAP}=\widehat{PAC}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{1}{2}\cdot 60°=30°.$

Xét ∆AFG cân tại A (do AF = AG = x) nên đường trung tuyến AQ đồng thời là đường phân giác của tam giác. Do đó $\widehat{FAG}=2\widehat{FAQ}.$

Lại có: $\widehat{FAQ}+\widehat{FAB}+\widehat{BAP}=180°$

Nên $\widehat{FAQ}=180°-\widehat{FAB}-\widehat{BAP}=180°-90°-30°=60°.$

Suy ra $\widehat{FAG}=2\widehat{FAQ}=2\cdot 60°=120°.$

Kẻ GN vuông góc với FA (N thuộc FA).

Tam giác FQA vuông tại Q có $\widehat{FAQ}=60°$ và FA = x nên ta có:

                 $FQ=FA\cdot \sin \widehat{FAQ}=\frac{x\sqrt{3}}{2},$ do đó $FG=2FQ=x\sqrt{3}.$

⦁ Do ABEF, BCIJ và CAGH là các hình chữ nhật nên ta có: AB = EF, BC = IJ, CA = GH, mà AB = BC = CA (do ∆ABC đều) nên nếu EFGHIJ là lục giác đều thì FG = GH = AC = a, do đó $a=x\sqrt{3}$ hay a² = 3x².

Ngược lại, nếu a² = 3x² thì FG = a và các cạnh của lục giác EFGHIJ bằng nhau. (1)

⦁ Ta có $\widehat{AFQ}+\widehat{FAQ}=90°$ (do ∆AFQ vuông tại Q) nên:

$\widehat{AFQ}=90°-\widehat{FAQ}=90°-60°=30°.$

Suy ra $\widehat{EFQ}=\widehat{EFA}+\widehat{AFQ}=90°+30°=120°.$

Tương tự, ta chứng minh được các góc của lục giác EFGHIJ đều bằng 120° nên lục giác EFGHIJ là lục giác đều.

Vậy hệ thức liên hệ giữa a² và x² để lục giác EFGHIJ là lục giác đều là a² = 3x².

Lời giải SBT Toán 9 Bài 1: Đa giác đều. Hình đa giác đều trong thực tiễn hay khác:

• Bài 1 trang 106 SBT Toán 9 Tập 2: Quan sát Hình 6 và kể tên các đa giác có trong hình đó ....

• Bài 2 trang 106 SBT Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC và D là một điểm nằm trong tam giác. Kẻ DE song song với AB ....

• Bài 3 trang 106 SBT Toán 9 Tập 2: Hãy vẽ một số đa giác (lồi) mà các đỉnh là một số điểm trong các điểm đã cho ở Hình 7 ....

• Bài 4 trang 107 SBT Toán 9 Tập 2: Cho hình chữ nhật MNPQ và ngũ giác ABCDE trên lưới ô vuông như Hình 8 ....

• Bài 5 trang 107 SBT Toán 9 Tập 2: Cho ngũ giác ABCDE. Chứng minh ....

• Bài 6 trang 107 SBT Toán 9 Tập 2: Cho ngũ giác đều ABCDE và một điểm M nằm trong ngũ giác ....

• Bài 7 trang 107 SBT Toán 9 Tập 2: Cho ngũ giác đều ABCDE, đoạn BE cắt các đoạn AC và AD lần lượt tại M và N ....

• Bài 8 trang 107 SBT Toán 9 Tập 2: Ở Hình 9 biết ABCDEF là lục giác đều, chứng minh rằng lục giác MNPQRS cũng là lục giác đều ....

• Bài 9 trang 107, 108 SBT Toán 9 Tập 2: Người ta chia đường tròn (O; R) thành 6 cung bằng nhau như sau ....

• Bài 11 trang 108 SBT Toán 9 Tập 2: Tính số đo mỗi góc của một đa giác đều có n cạnh trong mỗi trường hợp sau ....

• Bài 12 trang 108 SBT Toán 9 Tập 2: Cho đa giác đều A1A2A3…An – 1An (n > 3, n ∈ ℕ). Chứng minh các đường trung trực ....

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 9 Bài 2: Phép quay

• SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 9

• SBT Toán 9 Bài 1: Hình trụ

• SBT Toán 9 Bài 2: Hình nón

• SBT Toán 9 Bài 3: Hình cầu

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Cánh diều
• Giải SBT Toán 9 Cánh diều
• Giải lớp 9 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 9 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 9 Chân trời sáng tạo (các môn học)

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---