Cho ngũ giác đều ABCDE, đoạn BE cắt các đoạn AC và AD lần lượt tại M và N

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Đa giác đều. Hình đa giác đều trong thực tiễn - Cánh diều

Bài 7 trang 107 SBT Toán 9 Tập 2: Cho ngũ giác đều ABCDE, đoạn BE cắt các đoạn AC và AD lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:

a) Các tam giác AEN và CMB là các tam giác cân;

b) AN là phân giác của góc EAM;

c) AB.BC = BM.AC.

Lời giải:

a) Ngũ giác ABCDE là ngũ giác đều nên AB = BC = CD = DE = EA và $\widehat{ABC}=\widehat{BCD}=\widehat{CDE}=\widehat{DEA}=\widehat{EAB}.$

Ta cũng có tổng 5 góc của ngũ giác đều ABCDE bằng tổng các góc của ba tam giác ABC, ACD, ADE, tức là bằng 3.180° = 540°.

Do đó: $\widehat{ABC}=\widehat{BCD}=\widehat{CDE}=\widehat{DEA}=\widehat{EAB}=\frac{540°}{5}=108°.$

Xét ∆AEB cân tại A (do AB = AE) ta có:

                    $\widehat{ABE}=\widehat{AEB}=\frac{180°-\widehat{EAB}}{2}=\frac{180°-108°}{2}=36°.$

Hay $\widehat{ABM}=\widehat{AEN}=36°.$

Tương tự, đối với ∆EAD cân tại E ta có: $\widehat{EAD}=\widehat{EDA}=36°$ hay $\widehat{EAN}=36°.$

Do đó ta có $\widehat{EAN}=\widehat{NEA}=36°.$ Suy ra ∆AEN cân tại N.

Tương tự, ta chứng minh được ∆MAB cân tại M (do $\widehat{MAB}=\widehat{MBA}=36°)$

Suy ra $\widehat{AMB}=180°-2\widehat{MAB}=180°-2\cdot 36°=108°.$

Mặt khác: $\widehat{CMB}=180°-\widehat{AMB}=180°-108°=72°;$

                 $\widehat{MBC}=\widehat{ABC}-\widehat{ABM}=108°-36°=72°.$

Suy ra tam giác CMB cân tại C.

b) Ta có: $\widehat{EAB}=\widehat{EAN}+\widehat{NAM}+\widehat{MAB}$

Suy ra $\widehat{NAM}=\widehat{EAB}-\widehat{EAN}-\widehat{MAB}=108°-36°-36°=36°.$

Do đó $\widehat{EAN}=\widehat{NAM}=36°.$

Vì vậy AN là phân giác của góc EAM.

c) Xét ∆MAB và ∆BAC có:

$\widehat{AMB}=\widehat{ABC}=108°$ và $\widehat{BAC}$ là góc chung

Do đó ∆MAB ᔕ ∆BAC (g.g), suy ra $\frac{AB}{AC}=\frac{BM}{CB}$ hay AB.BC = BM.AC.

Lời giải SBT Toán 9 Bài 1: Đa giác đều. Hình đa giác đều trong thực tiễn hay khác:

• Bài 1 trang 106 SBT Toán 9 Tập 2: Quan sát Hình 6 và kể tên các đa giác có trong hình đó ....

• Bài 2 trang 106 SBT Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC và D là một điểm nằm trong tam giác. Kẻ DE song song với AB ....

• Bài 3 trang 106 SBT Toán 9 Tập 2: Hãy vẽ một số đa giác (lồi) mà các đỉnh là một số điểm trong các điểm đã cho ở Hình 7 ....

• Bài 4 trang 107 SBT Toán 9 Tập 2: Cho hình chữ nhật MNPQ và ngũ giác ABCDE trên lưới ô vuông như Hình 8 ....

• Bài 5 trang 107 SBT Toán 9 Tập 2: Cho ngũ giác ABCDE. Chứng minh ....

• Bài 6 trang 107 SBT Toán 9 Tập 2: Cho ngũ giác đều ABCDE và một điểm M nằm trong ngũ giác ....

• Bài 8 trang 107 SBT Toán 9 Tập 2: Ở Hình 9 biết ABCDEF là lục giác đều, chứng minh rằng lục giác MNPQRS cũng là lục giác đều ....

• Bài 9 trang 107, 108 SBT Toán 9 Tập 2: Người ta chia đường tròn (O; R) thành 6 cung bằng nhau như sau ....

• Bài 10 trang 108 SBT Toán 9 Tập 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các hình chữ nhật ABEF, BCIJ và CAGH ....

• Bài 11 trang 108 SBT Toán 9 Tập 2: Tính số đo mỗi góc của một đa giác đều có n cạnh trong mỗi trường hợp sau ....

• Bài 12 trang 108 SBT Toán 9 Tập 2: Cho đa giác đều A1A2A3…An – 1An (n > 3, n ∈ ℕ). Chứng minh các đường trung trực ....

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 9 Bài 2: Phép quay

• SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 9

• SBT Toán 9 Bài 1: Hình trụ

• SBT Toán 9 Bài 2: Hình nón

• SBT Toán 9 Bài 3: Hình cầu

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Cánh diều
• Giải SBT Toán 9 Cánh diều
• Giải lớp 9 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 9 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 9 Chân trời sáng tạo (các môn học)

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---