Giải Toán 10 trang 100 Tập 1 Cánh diều

Với Giải Toán 10 trang 100 Tập 1 trong Bài tập cuối chương 4 Toán 10 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 100.

Giải Toán 10 trang 100 Tập 1 Cánh diều

Bài 6 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Để đo khoảng cách giữa hai vị trí M, N ở hai phía ốc đảo, người ta chọn vị trí O bên ngoài ốc đảo sao cho: O không thuộc đường thẳng MN; các khoảng cách OM, ON và góc MON là đo được (Hình 74). Sau khi đo, ta có OM = 200 m, ON = 500 m, $\widehat{MON}=135°$ .

Khoảng cách giữa hai vị trí M, N là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? 

Lời giải:

Ba vị trí O, M, N tạo thành ba đỉnh của tam giác. 

Tam giác OMN có OM = 200 m, ON = 500 m và $\widehat{MON}=135°$. 

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OMN ta có: 

MN² = OM² + ON² – 2 . OM . ON . cos$\widehat{MON}$

        = 200² + 500² – 2 . 200 . 500 . cos135°

≈ 431421 

Suy ra: MN ≈ 657 m.

Vậy khoảng cách giữa hai ví trí M, N khoảng 657 m.

Bài 7 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Chứng minh:

a) Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AE}$ với E là điểm bất kì; 

b) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{IN}=2\overrightarrow{MN}$ với M, N là hai điểm bất kì; 

c) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-3\overrightarrow{MN}=3\overrightarrow{NG}$ với M, N là hai điểm bất kì. 

Lời giải:

a) 

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. 

Với E là điểm bất kì ta có: 

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AE}$. 

Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AE}$ với E là điểm bất kì. 

b) 

Vì I là trung điểm của AB nên với điểm M bất kì ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$. 

Do đó, với điểm N bất kì, ta có: 

$$\begin{gathered} \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{IN}=2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IN} \\ =2\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IN}\right)=2\overrightarrow{MN} \end{gathered}$$

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{IN}=2\overrightarrow{MN}$ với M, N là hai điểm bất kì. 

c) 

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên với điểm M bất kì ta có: 

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$. 

Khi đó với điểm N bất kì ta có: 

$$\begin{gathered} \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-3\overrightarrow{MN}=3\overrightarrow{MG}-3\overrightarrow{MN} \\ =3\left(\overrightarrow{MG}+\left(-\overrightarrow{MN}\right)\right)=3\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{NM}\right) \\ =3\left(\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MG}\right)=3\overrightarrow{NG} \end{gathered}$$

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-3\overrightarrow{MN}=3\overrightarrow{NG}$ với M, N là hai điểm bất kì. 

Bài 8 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có AB = 4, AD = 6, $\widehat{BAD}=60°$ (Hình 74).

a) Biểu thị các vectơ $\overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC}$ theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$. 

b) Tính các tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AC}$. 

c) Tính độ dài các đường chéo BD, AC. 

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. 

Do ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. 

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AD}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)$

$=AB.AD.\cos \widehat{BAD}$ = 4 . 6 . cos60° = 12. 

Do đó: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=12$. 

Ta cũng có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)$

$={\overrightarrow{AB}}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$ = AB² + 12 = 4² + 12 = 28. 

Do đó: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=28$. 

Lại có: $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AC}=\left(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right).\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)$

$=\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right).\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right)$

$={\overrightarrow{AD}}^2-{\overrightarrow{AB}}^2$

= AD² – AB² = 6² – 4² = 20. 

Vậy $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AC}=20$

c) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABD có: 

BD² = AB² + AD² – 2 . AB . AD . cosA

        = 4² + 6² – 2 . 4 . 6 . cos 60° = 28

$\Rightarrow BD=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$

Ta có:

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$$\Rightarrow {\left(\overrightarrow{AC}\right)}^2={\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)}^2$

$\iff {\overrightarrow{AC}}^2={\overrightarrow{AB}}^2+2.\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+{\overrightarrow{AD}}^2$

$\iff A{C}^2=A{B}^2+2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+A{D}^2$

Suy ra: AC² = 4² + 2 . 12 + 6² = 76

$\Rightarrow AC=\sqrt{76}=2\sqrt{19}$

Bài 9 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Hai lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ cho trước cùng tác dụng lên một vật tại điểm O và tạo với nhau một góc $\left(\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}\right)=\alpha$ làm cho vật di chuyển theo hướng từ O đến C (Hình 75). Lập công thức tính cường độ của hợp lực $\overrightarrow{F}$ làm cho vật di chuyển theo hướng từ O đến C (giả sử chỉ có đúng hai lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ làm cho vật di chuyển).

Lời giải:

Ta thấy, AOBC là hình bình hành. 

Do đó: $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$

Suy ra: $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$ (1).

Ta cần tính cường độ của hợp lực $\overrightarrow{F}$ hay chính là tính $\left|\overrightarrow{F}\right|$. 

Từ (1) suy ra ${\left(\overrightarrow{F}\right)}^2={\left(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right)}^2$.

$\iff {\overrightarrow{F}}^2={\overrightarrow{F_1}}^2+2.\overrightarrow{F_1}.\overrightarrow{F_2}+{\overrightarrow{F_2}}^2$

$\iff {\left|\overrightarrow{F}\right|}^2={\left|\overrightarrow{F_1}\right|}^2+2.\overrightarrow{F_1}.\overrightarrow{F_2}+{\left|\overrightarrow{F_2}\right|}^2$ (2)

Ta lại có: $\overrightarrow{F_1}.\overrightarrow{F_2}=\left|\overrightarrow{F_1}\right|.\left|\overrightarrow{F_2}\right|.\cos \left(\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}\right)$$=\left|\overrightarrow{F_1}\right|.\left|\overrightarrow{F_2}\right|.\cos \alpha$ (3).

Từ (2) và (3) suy ra: ${\left|\overrightarrow{F}\right|}^2={\left|\overrightarrow{F_1}\right|}^2+2.\left|\overrightarrow{F_1}\right|.\left|\overrightarrow{F_2}\right|.\cos \alpha +{\left|\overrightarrow{F_2}\right|}^2$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{F}\right|=\sqrt{{\left|\overrightarrow{F_1}\right|}^2+2.\left|\overrightarrow{F_1}\right|.\left|\overrightarrow{F_2}\right|.\cos \alpha +{\left|\overrightarrow{F_2}\right|}^2}$

Vậy công thức tính cường độ của hợp lực $\overrightarrow{F}$ làm cho vật di chuyển theo hướng từ O đến C là $\left|\overrightarrow{F}\right|=\sqrt{{\left|\overrightarrow{F_1}\right|}^2+2.\left|\overrightarrow{F_1}\right|.\left|\overrightarrow{F_2}\right|.\cos \alpha +{\left|\overrightarrow{F_2}\right|}^2}$.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 hay khác:

• Giải Toán 10 trang 99 Tập 1

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Bài 3: Khái niệm vectơ

• Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

• Bài 5: Tích của một số với một vectơ

• Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

• Chủ đề 1: Đo góc

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải SBT Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---