Giải Toán 10 trang 96 Tập 1 Cánh diều

Với Giải Toán 10 trang 96 Tập 1 trong Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ Toán 10 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 96.

Giải Toán 10 trang 96 Tập 1 Cánh diều

Luyện tập 3 trang 96 Toán lớp 10 Tập 1: Chứng minh rằng với hai vectơ bất kì $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ , ta có:

${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$;

${\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$;

$\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right).\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)={\overrightarrow{a}}^2-{\overrightarrow{b}}^2$.

Lời giải:

+ Ta có:

${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2=\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right).\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)$  (bình phương vô hướng của vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$)

$=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}$

$={\overrightarrow{a}}^2+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$ (áp dụng tính chất giao hoán)

$={\overrightarrow{a}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$

Vậy ${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$.

+ Ta có:

${\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)}^2=\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right).\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)$ (bình phương vô hướng của vectơ $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$)

$=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{b}\right).\left(-\overrightarrow{b}\right)$

$={\overrightarrow{a}}^2-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$  (áp dụng tính chất giao hoán)

 $={\overrightarrow{a}}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$

Vậy ${\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$.

+ Ta có:

$\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)$$=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\left(-\overrightarrow{b}\right).\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{b}\right).\overrightarrow{b}$

$={\overrightarrow{a}}^2+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}$ (áp dụng tính chất giao hoán)

$={\overrightarrow{a}}^2-{\overrightarrow{b}}^2$.

Vậy $\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right).\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)={\overrightarrow{a}}^2-{\overrightarrow{b}}^2$.

Luyện tập 4 trang 96 Toán lớp 10 Tập 1: Sử dụng tích vô hướng, chứng minh minh định lí Pythagore: Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi BC² = AB² + AC²

Lời giải:

+ Ta chứng minh định lí thuận:

Có tam giác ABC vuông ở A, cần chứng minh BC² = AB² + AC².

Tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{BAC}=90°$.

Ta có: ${\overrightarrow{BC}}^2={\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)}^2={\overrightarrow{AC}}^2+{\overrightarrow{AB}}^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$

Suy ra: BC² = AC² + AB² – 2 . AC . AB . cos$\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)$

                   = AB² + AC² – 2 . AC . AB . cosA

                   = AB² + AC² – 2 . AC . AB . cos 90°

                   = AB² + AC² – 2 . AC . AB . 0

                   = AB² + AC².

Vậy BC² = AB² + AC².

+ Ta chứng minh định lí đảo:

Cho tam giác ABC có BC² = AB² + AC² thì tam giác ABC vuông tại A.

Ta có: ${\overrightarrow{BC}}^2={\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)}^2={\overrightarrow{AC}}^2+{\overrightarrow{AB}}^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$

Suy ra: BC² = AC² + AB² – 2 . AC . AB . cos $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)$  (*)

Mà theo giả thiết ta có: BC² = AB² + AC² nên thay vào (*) ta được:

BC² = BC² – 2 . AC . AB . cos$\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)$

Suy ra: 2 . AC . AB . cos$\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)$  = 0

$\iff \cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)=0$  hay  $\cos \widehat{BAC}=0$

Do đó: $\widehat{BAC}=90°$.

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ hay khác:

• Giải Toán 10 trang 93 Tập 1
• Giải Toán 10 trang 95 Tập 1
• Giải Toán 10 trang 97 Tập 1
• Giải Toán 10 trang 98 Tập 1

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Bài 3: Khái niệm vectơ

• Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

• Bài 5: Tích của một số với một vectơ

• Bài tập cuối chương 4

• Chủ đề 1: Đo góc

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải SBT Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---