Hoạt động khám phá 4 trang 67 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số - Chân trời sáng tạo

Hoạt động khám phá 4 trang 67 Toán 11 Tập 1: Từ một hình vuông có cạnh bằng 1, tô màu một nửa hình vuông, rồi tô màu một nửa hình còn lại, và cứ tiếp tục như vậy (xem Hình 2).

a) Xác định diện tích u_k của phần hình được tô màu lần thứ k (k = 1, 2, 3, ...).

b) Tính tổng diện tích S_n của phần hình được tô màu sau lần tô thứ n (n = 1, 2, 3, ...).

c) Tìm giới hạn limS_n và so sánh giới hạn này với diện tích hình vuông ban đầu.

Lời giải:

a) Xác định diện tích u_k của phần hình được tô màu lần thứ k (k = 1, 2, 3, ...).

Ta có: u₁ = 1.$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$; u₂ = $\frac{1}{2}.\frac{1}{2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$; u₃ = $\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^3$; u₄ = $\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^4$; ...

Diện tích u_k của phần hình được tô màu lần thứ k là một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1=\frac{1}{2}$ và công bội $q=\frac{1}{2}$.

Khi đó công thức số hạng tổng quát là: $u_k={\left(\frac{1}{2}\right)}^k,\left(k=1,2,3,\mathrm{...}\right)$

b) Tổng diện tích S_n của phần hình được tô màu sau lần tô thứ n (n = 1, 2, 3, ...) là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân ta được:

$S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\frac{\frac{1}{2}.\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right)}{1-\frac{1}{2}}=\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right)$.

c) Ta có: limS_n = $\lim \left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right)=\lim 1-\lim {\left(\frac{1}{2}\right)}^n=1$.

Khi đó limS_n = 2u₁.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số hay, chi tiết khác:

• Hoạt động khởi động trang 64 Toán 11 Tập 1: Bạn nam thứ 1: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,666... và số $\frac{2}{3}$ là hai số bằng nhau ....

• Hoạt động khám phá 1 trang 64 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{{\left(-1\right)}^n}{n}$ ....

• Thực hành 1 trang 65 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau: a) $\lim \frac{1}{n^2}$ ....

• Hoạt động khám phá 2 trang 65 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{2n+1}{n}$ ....

• Thực hành 2 trang 65 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau: a) $\lim \left(2+{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\right)$ ....

• Hoạt động khám phá 3 trang 66 Toán 11 Tập 1: Ở trên ta đã biết $\lim \left(3+\frac{1}{n^2}\right)=\lim \frac{3n^2+1}{n^2}=1$ ....

• Thực hành 3 trang 66 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau: a) $\lim \frac{2n^2+3n}{n^2+1}$ ....

• Thực hành 4 trang 68 Toán 11 Tập 1: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: $1+\frac{1}{3}+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(\frac{1}{3}\right)}^n+\mathrm{...}$ ....

• Vận dụng 1 trang 68 Toán 11 Tập 1: Từ tờ giấy, cắt một hình tròn bán kính R (cm) như Hình 3a ....

• Hoạt động khám phá 5 trang 68 Toán 11 Tập 1: Dựng một dãy hình vuông bằng cách ghép từ các hình vuông đơn vị (cạnh bằng 1 đơn vị độ dài) theo các bước như Hình 4 ....

• Bài 1 trang 69 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau: a) $\lim \frac{-2n+1}{n}$ ....

• Bài 2 trang 69 Toán 11 Tập 1: Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau: a) $-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\mathrm{...}+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n+\mathrm{...}$ ....

• Bài 3 trang 69 Toán 11 Tập 1: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,444 ... dưới dạng phân số ....

• Bài 4 trang 70 Toán 11 Tập 1: Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai ....

• Bài 5 trang 70 Toán 11 Tập 1: Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau: ....

Các bài học để học tốt Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số:

• Giải SBT Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

  Xem lời giải

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

  Xem chi tiết

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Toán 11 Bài tập cuối chương 2

• Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

• Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục

• Toán 11 Bài tập cuối chương 3

• Toán 11 Bài 1: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

• Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---