Giải Toán 11 trang 106 Tập 1 Kết nối tri thức

Với Giải Toán 11 trang 106 Tập 1 trong Bài 15: Giới hạn của dãy số Toán 11 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 106.

Giải Toán 11 trang 106 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 2 trang 106 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{{3.2}^n-1}{2^n}$ . Chứng minh rằng $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=3$ .

Lời giải:

Ta có: $u_n-3=\frac{{3.2}^n-1}{2^n}-3=\frac{\left({3.2}^n-1\right)-{3.2}^n}{2^n}=-\frac{1}{2^n}\to 0$ khi n ⟶ +∞.

Do vây, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=3$ .

Vận dụng 1 trang 106 Toán 11 Tập 1: Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng $\frac{2}{3}$ độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử u_n là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số (u_n) có giới hạn là 0.

Lời giải:

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn, sau lần chạm sàn đầu tiên, quả bỏng nảy lên một độ cao là u₁ = $\frac{2}{3}\cdot 5$ .

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao u₁ xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là $u_2=\frac{2}{3}{u}_1=\frac{2}{3}\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot 5\right)=5\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^2$.

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao u₂ xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là $u_3=\frac{2}{3}{u}_2=\frac{2}{3}\cdot \left(5\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^2\right)=5\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^3$ và cứ tiếp tục như vậy.

Sau lần chạm sàn thứ n, quả bóng nảy lên độ cao là $u_n=5\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ .

Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{2}{3}\right)}^n=0$ , do đó, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0$ , suy ra điều phải chứng minh.

HĐ3 trang 106 Toán 11 Tập 1: Hình thành quy tắc tính giới hạn

Cho hai dãy số (u_n) và (v_n) với $u_n=2+\frac{1}{n},v_n=3-\frac{2}{n}$.

Tính và so sánh: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n+v_n\right)$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n+\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n$.

Lời giải:

+) Ta có: $u_n+v_n=\left(2+\frac{1}{n}\right)+\left(3-\frac{2}{n}\right)=5-\frac{1}{n}$.

Lại có $\left(u_n+v_n\right)-5=\left(5-\frac{1}{n}\right)-5=-\frac{1}{n}\to 0$ khi n ⟶ +∞.

Do vậy, $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n+v_n\right)=5$.

+) Ta có: $u_n-2=\left(2+\frac{1}{n}\right)-2=\frac{1}{n}\to 0$ khi n ⟶ +∞.

Do vậy, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2$.

Và $v_n-3=\left(3-\frac{2}{n}\right)-3=-\frac{2}{n}\to 0$ khi n ⟶ +∞.

Do vây, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=3$.

Khi đó, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n+\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n$ = 2 + 3 = 5 = $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n+v_n\right)$.

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n+v_n\right)$ = $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n+\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n$.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số hay khác:

• Giải Toán 11 trang 105
• Giải Toán 11 trang 107
• Giải Toán 11 trang 108
• Giải Toán 11 trang 109

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Toán 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số

• Toán 11 Bài 17: Hàm số liên tục

• Toán 11 Bài tập cuối Chương 5

• Toán 11 Một vài áp dụng của toán học trong tài chính

• Toán 11 Lực căng mặt ngoài của nước

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---