Giải Toán 11 trang 109 Tập 1 Kết nối tri thức

Với Giải Toán 11 trang 109 Tập 1 trong Bài 15: Giới hạn của dãy số Toán 11 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 109.

Giải Toán 11 trang 109 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 5 trang 109 Toán 11 Tập 1: Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(n-\sqrt{n}\right)$.

Lời giải:

Ta có: $n-\sqrt{n}=n\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$. Hơn nữa $\underset{n\to +\infty }{\lim }n=+\infty$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)=1$.

Do đó, $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(n-\sqrt{n}\right)=+\infty$.

Bài 5.1 trang 109 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2+n+1}{2n^2+1}$;

b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+2n}-n\right)$.

Lời giải:

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2+n+1}{2n^2+1}$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(2+\frac{1}{n^2}\right)}$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{2}$.

b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+2n}-n\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\left(n^2+2n\right)-n^2}{\sqrt{n^2+2n}+n}$

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n}{\sqrt{n^2\left(1+\frac{2}{n}\right)}+n}$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n}{n\sqrt{1+\frac{2}{n}}+n}$

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n}{n\left(\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1\right)}$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1}=\frac{2}{\sqrt{1}+1}=1$.

Bài 5.2 trang 109 Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số không âm (u_n) và (v_n) với $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=3$. Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n^2}{v_n-u_n}$;

b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt{u_n+2v_n}$.

Lời giải:

a) Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2$, do đó, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n^2=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n.u_n\right)=2.2=4$.

Và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=3$ nên $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(v_n-u_n\right)=3-2=1$.

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n^2}{v_n-u_n}=\frac{4}{1}=4$.

b) Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\lim }2=2$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=3$, do đó, $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(2v_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(2.v_n\right)=2.3=6$.

Và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2$ nên $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n+2v_n\right)=2+6=8$.

Vì u_n ≥ 0, v_n ≥ 0 với mọi n nên u_n + 2v_n ≥ 0 với mọi n và $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n+2v_n\right)=8>0$.

Do đó, $\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt{u_n+2v_n}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.

Bài 5.3 trang 109 Toán 11 Tập 1: Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi:

a) $u_n=\frac{n^2+1}{2n-1}$;

b) $v_n=\sqrt{2n^2+1}-n$.

Lời giải:

a) $u_n=\frac{n^2+1}{2n-1}$

Chia cả tử và mẫu của u_n cho n², ta được $u_n=\frac{n^2+1}{2n-1}$$=\frac{1+\frac{1}{n^2}}{\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}$.

Vì $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(1+\frac{1}{n^2}\right)=1>0$, $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}\right)=0$ và $\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}>0$ với mọi n nên

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2+1}{2n-1}=+\infty$.

b) $v_n=\sqrt{2n^2+1}-n$

Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{2n^2+1}-n\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2\left(2+\frac{1}{n^2}\right)}-n\right)$

Vì $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{2+\frac{1}{n^2}}-1\right)=\sqrt{2}-1>0$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }n=+\infty$.

Nên

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{2n^2+1}-n\right)=+\infty$.

Bài 5.4 trang 109 Toán 11 Tập 1: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:

a) 1,(12) = 1,121212...;

b) 3,(102) = 3,102102102...

Lời giải:

a) Ta có: 1,(12) = 1,121212... = 1 + 0,12 + 0,0012 + 0,000012 + ...

= 1 + 12 . 10^-2 + 12 . 10^-4 + 12 . 10^-6 + ...

= 1 + 12 . (10^-2 + 10^-4 + 10^-6 + ...)

Do 10^-2 + 10^-4 + 10^-6 + ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 10^-2 và q = 10^-2 nên

10^-2 + 10^-4 + 10^-6 + ... = $\frac{{10}^{-2}}{1-{10}^{-2}}=\frac{1}{99}$.

Vậy 1,(12) = $1+12.\frac{1}{99}=\frac{33}{33}+\frac{4}{33}=\frac{37}{33}$.

b) Ta có: 3,(102) = 3,102102102... = 3 + 0,102 + 0,000102 + 0,000000102 + ...

= 3 + 102 . 10^-3 + 102 . 10^-6 + 102 . 10^-9 + ...

= 3 + 102 . (10^-3 + 10^-6 + 10^-9 + ...)

Do 10^-3 + 10^-6 + 10^-9 + ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 10^-3 và q = 10^-3 nên

10^-3 + 10^-6 + 10^-9 + ... = $\frac{{10}^{-3}}{1-{10}^{-3}}=\frac{1}{999}$.

Vậy 3,(102) = 3 + $102.\frac{1}{999}=3+\frac{34}{333}=\frac{1033}{333}$.

Bài 5.5 trang 109 Toán 11 Tập 1: Một bệnh nhân hằng ngày phải uống một viên thuốc 150 mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.

Lời giải:

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày đầu tiên là 150 mg.

Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%.

Do đó, lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ hai là

150 + 150 . 5% = 150(1 + 0,05).

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ ba là

150 + 150(1 + 0,05) . 5% = 150 + 150(0,05 + 0,05²) = 150(1 + 0,05 + 0,05²)

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ tư là

150 + 150(1 + 0,05 + 0,05²) . 5% = 150(1 + 0,05 + 0,05² + 0,05³)

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ năm là

150 + 150(1 + 0,05 + 0,05² + 0,05³) . 5% = 150(1 + 0,05 + 0,05² + 0,05³ + 0,05⁴)

= 157,8946875 (mg).

Cứ tiếp tục như vậy, ta ước tính lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài là

S = 150(1 + 0,05 + 0,05² + 0,05³ + 0,05⁴ + ...) (mg)

Lại có 1 + 0,05 + 0,05² + 0,05³ + 0,05⁴ + ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u₁ = 1 và công bội q = 0,05.

Do đó, 1 + 0,05 + 0,05² + 0,05³ + 0,05⁴ + ... = $\frac{u_1}{1-q}=\frac{1}{1-0,05}=\frac{20}{19}$.

Suy ra S = $150\cdot \frac{20}{19}=\frac{3000}{19}$ (mg).

Bài 5.6 trang 109 Toán 11 Tập 1: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng α (H.5.3). Từ A kẻ AA₁ ⊥ BC, từ A₁ kẻ A₁A₂ ⊥ AC, sau đó lại kẻ A₂A₃ ⊥ BC. Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn AA₁A₂A₃... Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và α.

Lời giải:

Tam giác AA₁B vuông tại A₁ có AB = h và .

Do đó, AA₁ = AB sinB = h sin α.

Ta có: $\hat{B}+\widehat{BA{A}_1}=90°$ và $\widehat{A_{1}A{A}_2}+\widehat{BA{A}_1}=90°$, suy ra $\widehat{A_{1}A{A}_2}=\hat{B}=\alpha$.

Tam giác AA₁A₂ vuông tại A₂ nên A₁A₂ = AA₁ sin$\widehat{A_{1}A{A}_2}$ = h sin α . sin α = h sin² α.

Vì AB ⊥ AC và A₁A₂ ⊥ AC nên AB // A₁A₂, suy ra $\widehat{A_2{A}_1{A}_3}=\hat{B}=\alpha$ (2 góc đồng vị).

Tam giác A₁A₂A₃ vuông tại A₃ nên A₂A₃ = A­₁A₂ . sin$\widehat{A_2{A}_1{A}_3}$ = h sin² α . sin α = h sin³ α.

Vì AA₁ ⊥ BC và A₂A₃ ⊥ BC nên AA₁ // A₂A₃, suy ra $\widehat{A_3{A}_2{A}_4}=\widehat{A_{1}A{A}_2}=\alpha$.

Tam giác A₂A₃A₄ vuông tại A₄ nên A₃A₄ = A₂A₃ . sin$\widehat{A_3{A}_2{A}_4}$ = h sin³ α . sin α = h sin⁴ α.

Cứ tiếp tục như vậy, ta xác định được A_{n – 1}A_n = h sinⁿ α.

Ta có: AA₁A₂A₃... = AA₁ + A₁A₂ + A₂A₃ + ... + A_{n – 1}A_n + ...

= h sin α + h sin² α + h sin³ α + ... + h sinⁿ α + ...

Vì góc B là góc nhọn nên sin B = sin α < 1, do đó |sin α| < 1.

Khi đó, độ dài của đường gấp khúc vô hạn AA₁A₂A₃... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u₁ = h sin α và công bội q = sin α.

Do đó, AA₁A₂A₃... = $\frac{u_1}{1-q}=\frac{h\sin \alpha }{1-\sin \alpha }$.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số hay khác:

• Giải Toán 11 trang 105
• Giải Toán 11 trang 106
• Giải Toán 11 trang 107
• Giải Toán 11 trang 108

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Toán 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số

• Toán 11 Bài 17: Hàm số liên tục

• Toán 11 Bài tập cuối Chương 5

• Toán 11 Một vài áp dụng của toán học trong tài chính

• Toán 11 Lực căng mặt ngoài của nước

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---