Giải Toán 11 trang 107 Tập 1 Kết nối tri thức

Với Giải Toán 11 trang 107 Tập 1 trong Bài 15: Giới hạn của dãy số Toán 11 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 107.

Giải Toán 11 trang 107 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 3 trang 107 Toán 11 Tập 1: Tìm $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{2n^2+1}}{n+1}$.

Lời giải:

Áp dụng các quy tắc tính giới hạn, ta được:

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{2n^2+1}}{n+1}$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{n^2\left(2+\frac{1}{n^2}\right)}}{n+1}$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n\sqrt{2+\frac{1}{n^2}}}{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{2+\frac{1}{n^2}}}{1+\frac{1}{n}}=\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}$.

HĐ4 trang 107 Toán 11 Tập 1: Làm quen với việc tính tổng vô hạn

Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi u₁, u₂, ..., u_n, ... lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu.

a) Tính tổng S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n.

b) Tìm S = $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n$.

Lời giải:

a) Ta có: u₁ là độ dài cạnh của hình vuông được tô màu tạo từ việc chia hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, do đó $u_1=\frac{1}{2}$.

Cứ tiếp tục như thế, ta được: $u_2=\frac{1}{2}{u}_1,u_3=\frac{1}{2}{u}_2$,..., $u_n=\frac{1}{2}{u}_{n-1}$, ...

Do vậy, độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=\frac{1}{2}$ và công bội $q=\frac{1}{2}$.

Do đó, tổng của n số hạng đầu là

S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n = $\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\frac{\frac{1}{2}\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right)}{1-\frac{1}{2}}$$=1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$.

b) Ta có: S = $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n$ = $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }1-\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=1-0=1$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số hay khác:

• Giải Toán 11 trang 105
• Giải Toán 11 trang 106
• Giải Toán 11 trang 108
• Giải Toán 11 trang 109

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Toán 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số

• Toán 11 Bài 17: Hàm số liên tục

• Toán 11 Bài tập cuối Chương 5

• Toán 11 Một vài áp dụng của toán học trong tài chính

• Toán 11 Lực căng mặt ngoài của nước

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---