Giải Toán 11 trang 107 Tập 1 Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 11 trang 107 Tập 1 trong Bài 15: Giới hạn của dãy số Toán 11 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 107.

Giải Toán 11 trang 107 Tập 1 Kết nối tri thức

Quảng cáo

Luyện tập 3 trang 107 Toán 11 Tập 1: Tìm $\lim_{n \to + \infty} \frac{\sqrt{2 n^{2} + 1}}{n + 1}$ .

Lời giải:

Áp dụng các quy tắc tính giới hạn, ta được:

$\lim_{n \to + \infty} \frac{\sqrt{2 n^{2} + 1}}{n + 1}$ $= \lim_{n \to + \infty} \frac{\sqrt{n^{2} (2 + \frac{1}{n^{2}})}}{n + 1}$ $= \lim_{n \to + \infty} \frac{n \sqrt{2 + \frac{1}{n^{2}}}}{n (1 + \frac{1}{n})}$ $= \lim_{n \to + \infty} \frac{\sqrt{2 + \frac{1}{n^{2}}}}{1 + \frac{1}{n}} = \frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2}$ .

HĐ4 trang 107 Toán 11 Tập 1: Làm quen với việc tính tổng vô hạn

Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi u₁, u₂, ..., u_n, ... lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu.

HĐ4 trang 107 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Quảng cáo

a) Tính tổng S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n.

b) Tìm S = $\lim_{n \to + \infty} S_{n}$ .

Lời giải:

a) Ta có: u₁ là độ dài cạnh của hình vuông được tô màu tạo từ việc chia hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, do đó $u_{1} = \frac{1}{2}$ .

Cứ tiếp tục như thế, ta được: $u_{2} = \frac{1}{2} u_{1}, u_{3} = \frac{1}{2} u_{2}$ ,..., $u_{n} = \frac{1}{2} u_{n - 1}$ , ...

Do vậy, độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1} = \frac{1}{2}$ và công bội $q = \frac{1}{2}$ .

Do đó, tổng của n số hạng đầu là

S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n = $\frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q} = \frac{\frac{1}{2} (1 - {(\frac{1}{2})}^{n})}{1 - \frac{1}{2}}$ $= 1 - {(\frac{1}{2})}^{n}$ .

b) Ta có: S = $\lim_{n \to + \infty} S_{n}$ = $\lim_{n \to + \infty} (1 - {(\frac{1}{2})}^{n})$ $= \lim_{n \to + \infty} 1 - \lim_{n \to + \infty} {(\frac{1}{2})}^{n} = 1 - 0 = 1$ .