Bài 4 trang 27 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Trang trước Trang sau

Giải Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số - Cánh diều

Bài 4 trang 27 Toán 12 Tập 1: Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau:

Quảng cáo

Bài 4 trang 27 Toán 12 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 12

Lời giải:

a) Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ\{2}.

• Ta có $\lim_{x \to 2^{-}}$ $\frac{x}{2 - x} = + \infty$ , $\lim_{x \to 2^{+}}$ $\frac{x}{2 - x} = - \infty$ .

Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• Lại có $\lim_{x \to + \infty}$ $\frac{x}{2 - x} = - 1$ , $\lim_{x \to - \infty}$ $\frac{x}{2 - x} = - 1$ .

Do đó, đường thẳng y = – 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

• Ta có $\lim_{x \to + \infty}$ $\frac{y}{x}$ = $\lim_{x \to + \infty}$ $\frac{x}{(2 - x) x}$ = $\lim_{x \to + \infty}$ $\frac{1}{2 - x}$ = $- \infty$ = 0.

Do đó, đồ thị hàm số y = $\frac{x}{2 - x}$ không có tiệm cận xiên.

b) Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ\{1}.

• Ta có $\lim_{x \to 1^{+}} \frac{2 x^{2} - 3 x + 2}{x - 1} = + \infty$ ; $\lim_{x \to 1^{-}} \frac{2 x^{2} - 3 x + 2}{x - 1} = - \infty$ .

Do đó, đường thẳng x = 1 tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• Lại có $\lim_{x \to + \infty}$ $\frac{2 x^{2} - 3 x + 2}{x - 1} = + \infty$ ; $\lim_{x \to - \infty}$ $\frac{2 x^{2} - 3 x + 2}{x - 1} = - \infty$ .

Do đó, đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.

• Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho có dạng y = ax + b.

Ta có: a = $\lim_{x \to + \infty}$ $\frac{y}{x}$ = $\lim_{x \to + \infty}$ $\frac{2 x^{2} - 3 x + 2}{x (x - 1)}$ = 2

và b = $\lim_{x \to + \infty}$ [y - 2x]= $\lim_{x \to + \infty}$ $(\frac{2 x^{2} - 3 x + 2}{x - 1} - 2 x)$ = $\lim_{x \to + \infty}$ $\frac{- x + 2}{x - 1}$ = -1 .

Vậy đường thẳng y = 2x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho (khi x → + ∞).

Tương tự, do $\lim_{x \to - \infty}$ $\frac{y}{x} = 2$ và $\lim_{x \to - \infty}$ [y - 2x] = -1 nên đường thẳng y = 2x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho (khi x → – ∞).

c) Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ\{0}.

• Ta có $\lim_{x \to 0^{+}} (x - 3 + \frac{1}{x^{2}}) = + \infty$ ; $\lim_{x \to 0^{-}} (x - 3 + \frac{1}{x^{2}}) = + \infty$ .

Do đó, đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• Lại có $\lim_{x \to + \infty}$ $(x - 3 + \frac{1}{x^{2}})$ = + $\infty$ ; $\lim_{x \to - \infty}$ $(x - 3 + \frac{1}{x^{2}})$ = - $\infty$ .

Do đó, đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.

• Do $\lim_{x \to + \infty}$ [y - (x - 3)] = $\lim_{x \to + \infty}$ $\frac{1}{x^{2}}$ = 0; $\lim_{x \to - \infty}$ [y - (x - 3)] = $\lim_{x \to - \infty}$ $\frac{1}{x^{2}}$ = 0 nên đường thẳng y = x – 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.