Bài 5 trang 64 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 12 Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian - Cánh diều

Bài 5 trang 64 Toán 12 Tập 1: Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD, mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc E của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60° (Hình 16). Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.

Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô (làm tròn đến hàng đơn vị), biết rằng các lực căng $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3},\overrightarrow{F_4}$ đều có cường độ là 4 700 N và trọng lượng của khung sắt là 3 000 N.

Lời giải:

Gọi A₁, B₁, C₁, D₁ lần lượt là các điểm sao cho

$\overrightarrow{E{A}_1}=\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{E{B}_1}=\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{E{C}_1}=\overrightarrow{F_3},\overrightarrow{E{D}_1}=\overrightarrow{F_4}$ .

Vì EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60° nên EA₁, EB₁, EC₁, ED₁ bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (A₁B₁C₁D₁) một góc bằng 60°.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên A₁B₁C₁D₁ cũng là hình chữ nhật.

Gọi O là tâm của hình chữ nhật A₁B₁C₁D₁.

Ta suy ra EO ⊥ (A₁B₁C₁D₁).

Do đó, góc giữa đường thẳng EA₁ và mặt phẳng (A₁B₁C₁D₁) bằng góc EA₁O.

Suy ra $\widehat{E{A}_{1}O}=60°$ .

Ta có  nên EA₁ = EB₁ = EC₁ = ED₁ = 4 700.

Tam giác EOA₁ vuông tại O nên EO = EA₁ sin$\widehat{E{A}_{1}O}$  = 4 700 sin 60° = 2 350$\sqrt{3}$ .

Theo quy tắc ba điểm, ta có $\overrightarrow{E{A}_1}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{O{A}_1},\overrightarrow{E{B}_1}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{O{B}_1}$ ,$\overrightarrow{E{C}_1}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{O{C}_1}$ , $\overrightarrow{E{D}_1}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{O{D}_1}$ .

Vì O là trung điểm của A₁C₁ và B₁D₁ nên

$\overrightarrow{O{A}_1}+\overrightarrow{O{C}_1}=\overrightarrow{0},\overrightarrow{O{B}_1}+\overrightarrow{O{D}_1}=\overrightarrow{0}$ .

Từ đó suy ra $\overrightarrow{E{A}_1}+\overrightarrow{E{B}_1}+\overrightarrow{E{C}_1}+\overrightarrow{E{D}_1}=4\overrightarrow{EO}$ .

Do đó, $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}+\overrightarrow{F_4}=4\overrightarrow{EO}$ .

Vì chiếc khung sắt chứa xe ô tô ở vị trí cân bằng nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}+\overrightarrow{F_4}=\overrightarrow{P}$, ở đó $\overrightarrow{P}$ là trọng lực tác dụng lên khung sắt chứa xe ô tô.

Suy ra trọng lượng của khung sắt chứa chiếc xe ô tô là

Vì trọng lượng của khung sắt là 3 000 N nên trọng lượng của chiếc xe ô tô là

$9400\sqrt{3}-3000\approx 13281$ (N).

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian hay, chi tiết khác:

• Câu hỏi khởi động trang 56 Toán 12 Tập 1: Các mũi tên chỉ đường trong khu tham quan vườn thú (Hình 1) gợi nên hình ảnh các vectơ trong không gian ....

• Hoạt động 1 trang 56 Toán 12 Tập 1: Trong mặt phẳng, hãy nêu khái niệm về: a) Vectơ, giá và độ dài của vectơ, hai vectơ cùng phương ....

• Luyện tập 1 trang 57 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Hãy chỉ ra ba vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp ....

• Hoạt động 2 trang 58 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$. Lấy một điểm A tùy ý ....

• Luyện tập 2 trang 58 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{DB}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{DC}}$ ....

• Hoạt động 3 trang 59 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (Hình 6). Tìm liên hệ giữa $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ ; $\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{{\mathrm{AA}}^{\text{'}}}$ và $\overrightarrow{{\mathrm{AC}}^{\text{'}}}$ ....

• Luyện tập 3 trang 59 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{B^{\text{'}}B}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{B^{\text{'}}D}$ ....

• Hoạt động 4 trang 59 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$. Lấy một điểm M tùy ý ....

• Luyện tập 4 trang 59 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{{\mathrm{BB}}^{\text{'}}}-\overrightarrow{C^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}-\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{{\mathrm{BD}}^{\text{'}}}$ ....

• Hoạt động 5 trang 60 Toán 12 Tập 1: Nêu định nghĩa tích của một số thực k ≠ 0 và vectơ $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$  trong mặt phẳng ....

• Luyện tập 5 trang 60 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC, I là trung điểm MN ....

• Hoạt động 6 trang 61 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$. Lấy một điểm O tùy ý ....

• Luyện tập 6 trang 61 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC ....

• Hoạt động 7 trang 61 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài cạnh bằng 3 cm ....

• Luyện tập 7 trang 62 Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính $\overrightarrow{A^{\text{'}}B}\cdot \overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}},\overrightarrow{D^{\text{'}}A}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ ....

• Bài 1 trang 63 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{A^{\text{'}}A}+\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$  bằng vectơ nào dưới đây? ....

• Bài 2 trang 63 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: a) $\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}$; ....

• Bài 3 trang 63 Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính: ....

• Bài 4 trang 64 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi G là trọng tâm của tam giác AB'D' ....

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài 2: Toạ độ của vectơ

• Toán 12 Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

• Toán 12 Bài tập cuối chương 2

• Toán 12 Bài 1: Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

• Toán 12 Bài 2: Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều
• Giải SBT Toán 12 Cánh diều
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---