Bài 3 trang 63 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 12 Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian - Cánh diều

Bài 3 trang 63 Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính:

a) $\overrightarrow{A^{\text{'}}B}\cdot \overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}};\overrightarrow{D^{\text{'}}A}\cdot \overrightarrow{BC}$ ;

b) Các góc $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}D},\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right);\left(\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}},\overrightarrow{BD}\right)$ .

Lời giải:

a)

• Ta có: $\overrightarrow{A^{\text{'}}B}=\overrightarrow{D^{\text{'}}C}$. Do đó, $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}B},\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{D^{\text{'}}C},\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=\widehat{C{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$.

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CDD'C' là hình vuông.

Suy ra $\widehat{C{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=45°$. Vậy $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}B},\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=45°$.

Ta có $\left|\overrightarrow{A^{\text{'}}B}\right|=A^{\text{'}}B$ = $\sqrt{A{A^{\text{'}}}^2+A{B}^2}$ = $\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$, $\left|\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right|=D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=a$.

Do đó, $\overrightarrow{A^{\text{'}}B}\cdot \overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ = $\left|\overrightarrow{A^{\text{'}}B}\right|\cdot \left|\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right|\cdot \cos \left(\overrightarrow{A^{\text{'}}B},\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)$ = $a\sqrt{2}\cdot a\cdot \cos 45°=a^2$.

• Ta có $\overrightarrow{D^{\text{'}}A}\cdot \overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}}\cdot \overrightarrow{BC}$.

Ta có: $\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B{C}^{\text{'}}}$. Do đó, $\left(\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{B{C}^{\text{'}}},\overrightarrow{BC}\right)=\widehat{C^{\text{'}}BC}$.

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CBB'C' là hình vuông.

Suy ra $\widehat{C^{\text{'}}BC}=45°$. Vậy $\left(\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}},\overrightarrow{BC}\right)=45°$.

Ta có $\left|\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}}\right|=A{D}^{\text{'}}$ = $\sqrt{D{D^{\text{'}}}^2+D{A}^2}$ = $\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$, $\left|\overrightarrow{BC}\right|=BC=a$.

Do đó, $\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}}\cdot \overrightarrow{BC}$ = $\left|\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}}\right|\cdot \left|\overrightarrow{BC}\right|\cdot \cos \left(\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}},\overrightarrow{BC}\right)$ = $a\sqrt{2}\cdot a\cdot \cos 45°=a^2$.

Vậy $\overrightarrow{D^{\text{'}}A}\cdot \overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}}\cdot \overrightarrow{BC}=-a^2$.

b)

Ta có: $\overrightarrow{A^{\text{'}}D}=\overrightarrow{B^{\text{'}}C}$. Do đó, $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}D},\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{B^{\text{'}}C},\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=\widehat{C{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CBB'C' là hình vuông.

Suy ra $\widehat{C{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=45°$ . Vậy $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}D},\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=45°$ .

Ta có: $\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B{C}^{\text{'}}}$. Do đó, $\left(\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}},\overrightarrow{BD}\right)=\left(\overrightarrow{B{C}^{\text{'}}},\overrightarrow{BD}\right)=\widehat{C^{\text{'}}BD}$ .

Ta tính được BC' = BD = C'D = $a\sqrt{2}$  nên tam giác C'BD là tam giác đều.

Suy ra $\widehat{C^{\text{'}}BD}=60°$ .

Vậy $\left(\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}},\overrightarrow{BD}\right)=60°$ .

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian hay, chi tiết khác:

• Câu hỏi khởi động trang 56 Toán 12 Tập 1: Các mũi tên chỉ đường trong khu tham quan vườn thú (Hình 1) gợi nên hình ảnh các vectơ trong không gian ....

• Hoạt động 1 trang 56 Toán 12 Tập 1: Trong mặt phẳng, hãy nêu khái niệm về: a) Vectơ, giá và độ dài của vectơ, hai vectơ cùng phương ....

• Luyện tập 1 trang 57 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Hãy chỉ ra ba vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp ....

• Hoạt động 2 trang 58 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$. Lấy một điểm A tùy ý ....

• Luyện tập 2 trang 58 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{DB}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{DC}}$ ....

• Hoạt động 3 trang 59 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (Hình 6). Tìm liên hệ giữa $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ ; $\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{{\mathrm{AA}}^{\text{'}}}$ và $\overrightarrow{{\mathrm{AC}}^{\text{'}}}$ ....

• Luyện tập 3 trang 59 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{B^{\text{'}}B}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{B^{\text{'}}D}$ ....

• Hoạt động 4 trang 59 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$. Lấy một điểm M tùy ý ....

• Luyện tập 4 trang 59 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{{\mathrm{BB}}^{\text{'}}}-\overrightarrow{C^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}-\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{{\mathrm{BD}}^{\text{'}}}$ ....

• Hoạt động 5 trang 60 Toán 12 Tập 1: Nêu định nghĩa tích của một số thực k ≠ 0 và vectơ $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$  trong mặt phẳng ....

• Luyện tập 5 trang 60 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC, I là trung điểm MN ....

• Hoạt động 6 trang 61 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$. Lấy một điểm O tùy ý ....

• Luyện tập 6 trang 61 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC ....

• Hoạt động 7 trang 61 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài cạnh bằng 3 cm ....

• Luyện tập 7 trang 62 Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính $\overrightarrow{A^{\text{'}}B}\cdot \overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}},\overrightarrow{D^{\text{'}}A}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ ....

• Bài 1 trang 63 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{A^{\text{'}}A}+\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$  bằng vectơ nào dưới đây? ....

• Bài 2 trang 63 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: a) $\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}$; ....

• Bài 4 trang 64 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi G là trọng tâm của tam giác AB'D' ....

• Bài 5 trang 64 Toán 12 Tập 1: Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật ....

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài 2: Toạ độ của vectơ

• Toán 12 Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

• Toán 12 Bài tập cuối chương 2

• Toán 12 Bài 1: Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

• Toán 12 Bài 2: Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều
• Giải SBT Toán 12 Cánh diều
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---