Bài 9 trang 27 Toán 12 Tập 2 Cánh diều

Giải Toán 12 Bài 3: Tích phân - Cánh diều

Bài 9 trang 27 Toán 12 Tập 2: Ở nhiệt độ 37 °C, một phản ứng hoá học từ chất đầu A, chuyển hoá thành chất sản phẩm B theo phương trình: A → B. Giả sử y(x) là nồng độ chất A (đơn vị mol L^{– 1}) tại thời gian x (giây), y(x) > 0 với x ≥ 0, thoả mãn hệ thức y'(x) = – 7 ∙ 10^{– 4}y(x) với x ≥ 0. Biết rằng tại x = 0, nồng độ ban đầu của chất A là 0,05 mol L^{– 1}.

Quảng cáo

a) Xét hàm số f(x) = ln y(x) với x ≥ 0. Hãy tính f'(x), từ đó hãy tìm hàm số f(x).

b) Giả sử ta tính nồng độ trung bình chất A (đơn vị mol L^{– 1}) từ thời điểm a (giây) đến thời điểm b (giây) với 0 < a < b theo công thức $\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} y (x) d x$ . Xác định nồng độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây.

Lời giải:

a) Ta có f(x) = ln y(x). Lấy đạo hàm hai vế ta được: f'(x) = $\frac{y^{'} (x)}{y (x)}$ .

Mà y'(x) = – 7 ∙ 10^{– 4}y(x), suy ra = – 7 ∙ 10^{– 4}.

Do đó, f'(x) = – 7 ∙ 10^{– 4}.

Hàm số f(x) là một nguyên hàm của hàm số f'(x).

Ta có $\int f^{'} (x) d x = \int (- 7 \cdot 10^{- 4}) d x = - 7 \cdot 10^{- 4} x + C$ .

Suy ra f(x) = – 7 ∙ 10^{– 4}x + C.

Mà f(x) = ln y(x) nên ln y(x) = – 7 ∙ 10^{– 4}x + C. Suy ra y(x) = $e^{- 7 \cdot 10^{- 4} x + C}$ .

Vì tại x = 0, nồng độ ban đầu của chất A là 0,05 mol L^{– 1}, tức là y(0) = 0,05 nên

e^C = 0,05 ⇔ C = ln0,05.

Vậy f(x) = – 7 ∙ 10^{– 4}x + ln0,05.

b) Từ câu a, ta có y(x) = $e^{- 7 \cdot 10^{- 4} x + \ln 0, 05}$ .

Khi đó nồng độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây là:

$\frac{1}{30 - 15} \int_{15}^{30} y (x) d x$ $= \frac{1}{15} \int_{15}^{30} e^{- 7 \cdot 10^{- 4} x + \ln 0, 05} d x = \frac{e^{\ln 0, 05}}{15} \int_{15}^{30} {(e^{- 7 \cdot 10^{- 4}})}^{x} d x$

$= \frac{1}{300} \cdot {\frac{{(e^{- 7 \cdot 10^{- 4}})}^{x}}{\ln e^{- 7 \cdot 10^{- 4}}}|}_{15}^{30} = \frac{- 100}{21} (e^{- 7 \cdot 10^{- 4} \cdot 30} - e^{- 7 \cdot 10^{- 4} \cdot 15}) \approx 0, 049$ (mol L^{– 1}).