Bài 2 trang 24 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số - Chân trời sáng tạo

Bài 2 trang 24 Toán 12 Tập 1: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau:

Quảng cáo

a) $y = \frac{x^{2} + 2}{2 x - 4}$ ; b) $y = \frac{2 x^{2} - 3 x - 6}{x + 2}$ ; c) $y = \frac{2 x^{2} + 9 x + 11}{2 x + 5}$ .

Lời giải:

a) Tập xác định: $D = ℝ \ \{2\}$ .

Có $\lim_{x \to 2^{+}} y = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{x^{2} + 2}{2 x - 4} = + \infty; \lim_{x \to 2^{-}} y = \lim_{x \to 2^{-}} \frac{x^{2} + 2}{2 x - 4} = - \infty .$

Vậy x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $y = \frac{x^{2} + 2}{2 x - 4} = \frac{1}{2} x + 1 + \frac{6}{2 x - 4}$ .

Có $\lim_{x \to + \infty} [y - (\frac{1}{2} x + 1)] = \lim_{x \to + \infty} [\frac{1}{2} x + 1 + \frac{6}{2 x - 4} - (\frac{1}{2} x + 1)] = \lim_{x \to + \infty} \frac{6}{2 x - 4} = 0.$

$\lim_{x \to - \infty} [y - (\frac{1}{2} x + 1)] = \lim_{x \to - \infty} [\frac{1}{2} x + 1 + \frac{6}{2 x - 4} - (\frac{1}{2} x + 1)] = \lim_{x \to - \infty} \frac{6}{2 x - 4} = 0.$

Vậy $y = \frac{1}{2} x + 1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

b) Tập xác định: $D = ℝ \ \{- 2\}$ .

$\lim_{x \to {(- 2)}^{+}} y = \lim_{x \to {(- 2)}^{+}} \frac{2 x^{2} - 3 x - 6}{x + 2} = + \infty;$ $\lim_{x \to {(- 2)}^{-}} y = \lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{2 x^{2} - 3 x - 6}{x + 2} = - \infty$

Vậy x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $y = \frac{2 x^{2} - 3 x - 6}{x + 2} = 2 x - 7 + \frac{8}{x + 2}$ .

Có $\lim_{x \to + \infty} [y - (2 x - 7)] = \lim_{x \to + \infty} [2 x - 7 + \frac{8}{x + 2} - (2 x - 7)] = \lim_{x \to + \infty} \frac{8}{x + 2} = 0$ ;

$\lim_{x \to - \infty} [y - (2 x - 7)] = \lim_{x \to - \infty} [2 x - 7 + \frac{8}{x + 2} - (2 x - 7)] = \lim_{x \to - \infty} \frac{8}{x + 2} = 0$

Vậy y = 2x – 7 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

c) Tập xác định: $D = ℝ \ \{- \frac{5}{2}\}$ .

$\lim_{x \to {(- \frac{5}{2})}^{+}} y = \lim_{x \to {(- \frac{5}{2})}^{+}} \frac{2 x^{2} + 9 x + 11}{2 x + 5} = + \infty;$ $\lim_{x \to {(- \frac{5}{2})}^{-}} y = \lim_{x \to {(- \frac{5}{2})}^{-}} \frac{2 x^{2} + 9 x + 11}{2 x + 5} = - \infty$

Vậy $x = - \frac{5}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $y = \frac{2 x^{2} + 9 x + 11}{2 x + 5} = x + 2 + \frac{1}{2 x + 5}$ .

Có $\lim_{x \to + \infty} [y - (x + 2)] = \lim_{x \to + \infty} [x + 2 + \frac{1}{2 x + 5} - (x + 2)]$ $= \lim_{x \to + \infty} \frac{1}{2 x + 5} = 0$ ;