Bài 2.28 trang 62 Sách bài tập Hình học 12

Voucher giảm giá Shopee dịp 15-08

Đề toán tổng hợp chương 2

Bài 2.28 trang 62 Sách bài tập Hình học 12: Cho hai đường thẳng Δ và Δ′ chéo nhau nhận AA’ làm đoạn vuông góc chung, trong đó A thuộc Δ và A’ thuộc Δ′ . Gọi (P) là mặt phẳng qua A vuông góc với Δ′ và d là hình chiếu vuông góc của Δ trên mặt phẳng (P). Đặt AA’ = a, góc nhọn giữa Δ và d là α. Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) cắt Δ và Δ′ lần lượt tại M và M’. Gọi M₁ là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P).

a) Chứng minh 5 điểm A, A’, M, M’, M₁ cùng nằm trên mặt cầu (S). xác định tâm O của (S). Tính bán kính của (S) theo a, α và khoảng cách x giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

b) Khi x thay đổi, tâm O của mặt cầu (S) di động trên đường nào? Chứng minh rằng khi (Q) thay đổi mặt cầu (S) luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.

Lời giải:

Quảng cáo

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải SBT Toán 12

a) Vì mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với Δ′ nên AA’ thuộc (P). Vì M thuộc Δ mà d là hình chiếu vuông góc của Δ trên (P) nên M₁ thuộc d. Vì MA ⊥ AA′ ⇒ M₁A ⊥ AA′

Mặt khác M₁A ⊥ M′A′ nên ta suy ra M₁A ⊥ (AA′M′). Do đó M₁A ⊥ M′A và điểm A thuộc mặt cầu đường kính M’M₁.

Ta có M′A′ ⊥ (P) nên M′A′ ⊥ A′M₁, ta suy ra điểm A’ cũng thuộc mặt cầu đường kính M’M₁

Ta có (Q) // (P) nên ta suy ra

MM₁ ⊥ (Q) mà MM’ thuộc (Q), do đó M₁M ⊥ MM′

Như vậy 5 điểm A, A’, M, M’, M₁ cùng thuộc mặt cầu (S) có đường kính M’M₁. Tâm O của mặt cầu (S) là trung điểm của đoạn M’M₁.

Ta có M′M₁² = M′A′² + A′M₁² = M′A′² + A′A² + AM₁² = x² + a² + x²cot²α vì MM₁ = x

Bán kính r của mặt cầu (S) bằng (M′M₁)/2 nên

b) Hình tứ giác A’M’MM₁ là hình chữ nhật nên tâm O cũng là trung điểm của A’M. Do đó khi x thay đổi thì mặt phẳng (Q) thay đổi và điểm O luôn luôn thuộc đường thẳng d’ đi qua trung điểm I của đoạn AA’ và song song với đường thẳng Δ. Vì mặt cầu tâm O luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, A’nên nó có tâm O di động trên đường thẳng d’. Do đó mặt cầu tâm O luôn luôn chứa đường tròn tâm I cố định có đường kính AA’ cố định và nằm trong mặt phẳng cố định vuông góc với đường thẳng d’.

Quảng cáo

Các bài giải sách bài tập Hình học 12 khác:

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:

Săn shopee giá ưu đãi :

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official