Giải SBT Toán 10 trang 106 Tập 1 Cánh diều

Với Giải sách bài tập Toán 10 trang 106 Tập 1 trong Bài tập cuối chương 4 trang 106, 107, 108 SBT Toán 10 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10 trang 106.

Giải SBT Toán 10 trang 106 Tập 1 Cánh diều

Bài 79 trang 108 SBT Toán 10 Tập 1:

a) Chứng minh đẳng thức ${\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|}^2={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+2.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ với $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ bất kì.

b) Cho $\left|\overrightarrow{a}\right|=2,\left|\overrightarrow{b}\right|=3,\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{7}$. Tính $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ và $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$

Lời giải

a) $$\begin{gathered} {\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|}^2={\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2+{\overrightarrow{b}}^2+2.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \\ ={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+2.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \end{gathered}$$

b) Áp dụng công thức trên ta được:

 ${\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|}^2={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+2.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$

⇔ ${\sqrt{7}}^2=2^2+3^2+2.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$

⇔ $7=4+9+2.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$

⇔ $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-3$

Mặt khác ta lại có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.c\text{os}\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)$>

⇔ $-3=\mathrm{2.3.}c\text{os}\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)$

⇔ $c\text{os}\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)=-\frac{1}{2}$

⇔ $\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)=120°$.

Vậy $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-3$ và $\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)=120°$.

Bài 80 trang 108 SBT Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC, có ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CF}.\overrightarrow{AB}=0$

Lời giải:

Ta có:

$\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CF}.\overrightarrow{AB}$

= $\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right).\overrightarrow{CA}$

$+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right).\overrightarrow{AB}$

= $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CA}$

$+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{AB}$

= $\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{AB}\right)+\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}\right)$

$+\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AB}\right)$

= 0

Bài 81 trang 108 SBT Toán 10 tập 1: Cho tứ giác ABCD, M là điểm thay đổi trong mặt phẳng thỏa mãn $\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right).\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right)=0$. Chứng minh M luôn nằm trên đường tròn cố định.

Lời giải:

Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Khi đó ta có: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{JD}=\overrightarrow{0}$

⇒ $\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right).\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right)=$

$\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right).\left(\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JD}\right)\text{ = }\overrightarrow{0}$

⇔ $\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right).\left(\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JD}\right)=\overrightarrow{0}$

⇔ $\left(2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right).\left(2\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{JD}\right)=\overrightarrow{0}$

⇔ $4\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{MJ}=\overrightarrow{0}$

⇔ $\widehat{\text{IMJ}}=90°$

Vậy M là điểm thuộc đường tròn đường kính IJ.

Bài 82 trang 108 SBT Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC và đường thẳng d không có điểm chung với bất kì cạnh nào của tam giác. M là điểm thay đổi trên đường thẳng d. Xác định vị trí của M sao cho biểu thức $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

Xét biểu thức:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}$

$=3\overrightarrow{MG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)$

$=3\overrightarrow{MG}$

⇒ $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|3\overrightarrow{MG}\right|$

Do đó để biểu thức $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $\left|3\overrightarrow{MG}\right|$  đạt giá trị nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất và MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G lên đường thẳng d.

Vậy để $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì điểm M là hình chiếu vuông góc của G trên đường thẳng d.

Lời giải Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 trang 106, 107, 108 Cánh diều hay khác:

• Giải SBT Toán 10 trang 106 Tập 1

• Giải SBT Toán 10 trang 107 Tập 1

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 10 Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác

• SBT Toán 10 Bài 3: Khái niệm vectơ

• SBT Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

• SBT Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ

• SBT Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải SBT Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---