Giải SBT Toán 10 trang 107 Tập 1 Cánh diều

Với Giải sách bài tập Toán 10 trang 107 Tập 1 trong Bài tập cuối chương 4 trang 106, 107, 108 SBT Toán 10 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10 trang 107.

Giải SBT Toán 10 trang 107 Tập 1 Cánh diều

Bài 72 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6, $\widehat{BAC}=60°$. Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):

a) Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B;

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp R;

c) Diện tích của tam giác ABC;

d) Độ dài đường cao xuất phát từ A;

e) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AC}$ với M là trung điểm của BC.

Lời giải:

a) Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B;

Xét tam giác ABC, có:

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cos $\widehat{BAC}$

 = 4² + 6² – 2.4.6.cos60°

 = 4² + 6² – 24

= 28

⇔ BC = $\sqrt{28}$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta được:

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$

⇔ $\sin B=\frac{6.\sin 60°}{\sqrt{28}}\approx 0,98$

⇔  $\widehat{B}\approx 79°$.

Vậy BC = $\sqrt{28}$ và $\widehat{B}\approx 79°$ .

b) Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=2R$

⇔ $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{\sqrt{28}}{2\sin 60°}\approx 3$.

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 3.

c) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác, ta được:

 $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat{BAC}=\frac{1}{2}\mathrm{.4.6.}\sin 60°=6\sqrt{3}$ (đvdt)

Vậy diện tích của tam giác ABC là $6\sqrt{3}$ (đvdt).

d) Gọi AH là đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh A

Ngoài ra diện tích tam giác ABC là:

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}BC.AH=\frac{1}{2}.\sqrt{28}.AH$

Theo ý c) ta tính được diện tích tam giác là $6\sqrt{3}$

Do đó ta có: $\frac{1}{2}.\sqrt{28}.AH=6\sqrt{3}$

⇔ $AH=\frac{2.6\sqrt{3}}{\sqrt{28}}\approx 4$

Vậy độ dài đường cao xuất phát từ A là 4.

e) Ta có:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\mathrm{4.6.}\cos 60°=12.$

Vì M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$

Khi đó:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}.{\overrightarrow{AC}}^2 \\ =\frac{1}{2}.12+\frac{1}{2}{.6}^2=24 \end{gathered}$$.

Vậy  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=12$ và $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AC}=24$.

Bài 73 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\left(A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2\right)$.

Lời giải:

Ta có: $\frac{1}{2}\left(A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2\right)$

$=\frac{1}{2}\left({\overrightarrow{AB}}^2+{\overrightarrow{AC}}^2-{\overrightarrow{BC}}^2\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\right)\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+{\overrightarrow{AC}}^2\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\right)\overrightarrow{AC}+{\overrightarrow{AC}}^2\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC}+{\overrightarrow{AC}}^2\right)$.

$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right).\overrightarrow{AC}+{\overrightarrow{AC}}^2\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC}-{\overrightarrow{AC}}^2+{\overrightarrow{AC}}^2\right)$

$=\frac{1}{2}.2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

Bài 74 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 6, CA = 7. Tính:

a) $\sin \widehat{ABC}$;

b) Diện tích tam giác ABC;

c) Độ dài đường trung tuyến AM.

Lời giải:

 

a) Xét tam giác ABC, có:

Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta được:

$\text{cos}\widehat{ABC}=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2AB.BC}=\frac{5^2+6^2-7^2}{\mathrm{2.5.6}}=\frac{1}{5}$

Ta có: ${\text{cos}}^2\widehat{ABC}+{\sin }^2\widehat{ABC}=1$

⇔ ${\sin }^2\widehat{ABC}=1-{\text{cos}}^2\widehat{ABC}=1-{\left(\frac{1}{5}\right)}^2=\frac{24}{25}$

Vì $\widehat{ABC}$ là góc trong tam giác nên $0°<\widehat{ABC}<180°$

⇒ $\sin \widehat{ABC}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$.

Vậy $\sin \widehat{ABC}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$.

b) Diện tích tam giác ABC là:

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.BC.\sin \widehat{ABC}=\frac{1}{2}\mathrm{.5.6.}\frac{2\sqrt{6}}{5}=6\sqrt{6}$ (đvdt)

Vậy diện tích tam giác ABC là $6\sqrt{6}.$

c) Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$.6 = 3.

Xét tam giác ABM:

Áp dụng định lí cos, ta có:

AM² = AB² + BM² – 2.AM.BM.cosB

⇔ AM² = 5² + 3² – 2.5.3.$\frac{1}{5}$

⇔ AM² = 28

⇔ AM = $2\sqrt{7}$

Vậy độ dài đường trung tuyến AM là $2\sqrt{7}$.

Bài 75 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba điểm I, A, B và số thực k ≠ 1 thỏa mãn . Chứng minh với O là điểm bất kì ta có: $\overrightarrow{OI}=\left(\frac{1}{1-k}\right)\overrightarrow{OA}-\left(\frac{k}{1-k}\right)\overrightarrow{OB}$.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{IA}=k\overrightarrow{IB}\iff \overrightarrow{IA}-k\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$

Xét vế phải của đẳng thức ta có:

$\left(\frac{1}{1-k}\right)\overrightarrow{OA}-\left(\frac{k}{1-k}\right)\overrightarrow{OB}=\left(\frac{1}{1-k}\right)\left(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IA}\right)-\left(\frac{k}{1-k}\right)\left(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IB}\right)$

$=\frac{1}{1-k}\overrightarrow{OI}+\frac{1}{1-k}\overrightarrow{IA}-\frac{k}{1-k}\overrightarrow{OI}-\frac{k}{1-k}\overrightarrow{IB}$

$=\left(\frac{1}{1-k}\overrightarrow{OI}-\frac{k}{1-k}\overrightarrow{OI}\right)+\left(\frac{1}{1-k}\overrightarrow{IA}-\frac{k}{1-k}\overrightarrow{IB}\right)$

$=\overrightarrow{OI}\left(\frac{1}{1-k}-\frac{k}{1-k}\right)+\frac{1}{1-k}\left(\overrightarrow{IA}-k\overrightarrow{IB}\right)$

$=\overrightarrow{OI}+\frac{1}{1-k}\overrightarrow{0}$

$=\overrightarrow{OI}$.

Bài 76 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5, $\widehat{BAC}=120°$. Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC, điểm D thỏa mãn $\overrightarrow{AD}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ và chứng minh AM ⊥ BD.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.c\text{os}\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\mathrm{4.5.}c\text{os120}°=-10$

Ta lại có: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$

Và $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$

⇒ $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\left(-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}\right)$

⇔ $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD}=-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^2+\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}{\overrightarrow{AC}}^2$

⇔ $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD}=-\frac{1}{2}{.4}^2+\frac{1}{5}(-10)-\frac{1}{2}(-10)+\frac{1}{5}{.5}^2=0$

Suy ra AM vuông góc BD.

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-10$ và AM vuông góc BD.

Bài 77 trang 107 SBT Toán 10 Tập 1: Một người quan sát đứng ở bờ sông muốn đo độ rộng của khúc sông chỗ chảy qua vị trí đứng (khúc sông tương đối thẳng, có thể xem hai bờ sông song song).

 

Từ vị trí đang đứng A, người đó đo được góc nghiêng α = 35° so với bờ sông tới một vị trí C quan sát được ở phía bờ bên kia. Sau đi dọc bờ sông đến vị trí B cách A một khoảng d = 50m và tiếp tục đo được góc nghiêng β = 65° so với bờ sông tới vị trí C đã chọn (Hình 53). Hỏi độ rộng của con sông chỗ chảy qua vị trí người quan sát đang đứng là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Lời giải:

 

Kẻ CH vuông góc với bờ AB.

Xét tam giác ABC, có:

$\widehat{ABC}+\widehat{BAC}+\widehat{ACB}=180°$

⇒ $\widehat{ACB}=180°-\left(\widehat{ABC}+\widehat{BAC}\right)=180°-\left(35°+115°\right)=30°$

Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta được:

$\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}=\frac{BC}{\sin \widehat{CAB}}$

⇔ $\frac{50}{\sin 30°}=\frac{BC}{\sin 35°}$

⇔ $BC=\frac{50\sin 35°}{\sin 30°}\approx 57,36$

Xét tam giác CHB vuông tại B, có:

$\sin \widehat{CBH}=\frac{CH}{BC}\iff CH=\sin \widehat{CBH}.BC\approx \sin 65°.57,36\approx 51,98$.

Vậy độ rộng của con sông chỗ chảy qua vị trí người quan sát khoảng 51,98 mét.

Bài 78 trang 107 SBT Toán 10 tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ và $\left|\overrightarrow{a}\right|=4,\left|\overrightarrow{b}\right|=5,\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=135°$.

Tính $\left(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right)\left(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)$.

Lời giải

$\left(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right)\left(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)$

$=2{\overrightarrow{a}}^2-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-2{\overrightarrow{b}}^2=2{\overrightarrow{a}}^2+3\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-2{\overrightarrow{b}}^2$

$=2{\overrightarrow{a}}^2+3\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)-2{\overrightarrow{b}}^2$

$={2.4}^2+\mathrm{3.4.5.}cos135°-{2.5}^2=-18-30\sqrt{2}$

Lời giải Sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 trang 106, 107, 108 Cánh diều hay khác:

• Giải SBT Toán 10 trang 106 Tập 1

• Giải SBT Toán 10 trang 108 Tập 1

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 10 Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác

• SBT Toán 10 Bài 3: Khái niệm vectơ

• SBT Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

• SBT Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ

• SBT Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải SBT Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)

• Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

• Trọng tâm Toán - Văn- Anh- Lý -Hoá lớp 10 (từ 99k )
• Trọng tâm Toán - Văn- Anh- Lý -Hoá lớp 11 (từ 99k )
• 30 đề DGNL Bách Khoa, DHQG Hà Nội, tp. Hồ Chí Minh 2025 (cho 2k7) (từ 119k )

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Sách luyện 30 đề thi thử THPT năm 2025 mới

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Trang trước Trang sau

---

Giải bài tập lớp 10 Cánh diều khác

• Soạn văn 10 (hay nhất) - Cánh diều
• Soạn văn 10 (ngắn nhất) - Cánh diều
• Soạn văn 10 (siêu ngắn) - Cánh diều
• Giải sgk Toán 10 - Cánh diều
• Giải Tiếng Anh 10 Global Success
• Giải Tiếng Anh 10 Friends Global
• Giải sgk Tiếng Anh 10 iLearn Smart World
• Giải sgk Tiếng Anh 10 Explore New Worlds
• Giải sgk Vật lí 10 - Cánh diều
• Giải sgk Hóa học 10 - Cánh diều
• Giải sgk Sinh học 10 - Cánh diều
• Giải sgk Địa lí 10 - Cánh diều
• Giải sgk Lịch sử 10 - Cánh diều
• Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - Cánh diều
• Giải sgk Tin học 10 - Cánh diều
• Giải sgk Công nghệ 10 - Cánh diều
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 10 - Cánh diều