Giải SBT Toán 10 trang 106 Tập 1 Cánh diều

Với Giải sách bài tập Toán 10 trang 106 Tập 1 trong Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ SBT Toán 10 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10 trang 106.

Giải SBT Toán 10 trang 106 Tập 1 Cánh diều

Bài 62 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình thoi ABCD cạnh a và $\hat{A}=120°$. Tính $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}$.

Lời giải:

 

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right).\overrightarrow{AD}={\overrightarrow{AD}}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$

$={\overrightarrow{AD}}^2+AB.AD.c\text{os}\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)$

= a² + a.a.cos120°

= a² – $\frac{1}{2}$a² = $\frac{1}{2}$a².

Vậy $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}{a}^2.$

Bài 63 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0$.

Lời giải:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0$

$=\overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\right)+\overrightarrow{AC}.\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right)+\overrightarrow{AD}.\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}$

$$\begin{gathered} =\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}\right)+\left(-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}\right) \\ +\left(-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AC}\right) \end{gathered}$$

= 0

Bài 64 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm của BC, N là điểm nằm giữa hai điểm A và C. Đặt x = $\frac{AN}{AC}$ . Tìm x thỏa mãn AM ⊥ BN.

Lời giải:

 

Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông ABCD

Vì M là trung điểm của BC nên ta có:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$

⇔ $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}$

Ta lại có: $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{AB}+x\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}+x\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)$

Ta lại có: $=(1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}$

⇒ $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BN}=\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}\right)\left((1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}\right)$

⇔ $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}(1-x)\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}x{\overrightarrow{BC}}^2-\left(1-x\right){\overrightarrow{BA}}^2-x\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$

⇔ $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}x.a^2-\left(1-x\right)a^2$

⇔ $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BN}=\left(\frac{3}{2}x-1\right)a^2$

Để AM vuông góc với BN thì

⇔ $\left(\frac{3}{2}x-1\right)a^2=0$

⇔ $\frac{3}{2}x-1=0$

⇔ $x=\frac{2}{3}$

Vậy với $x=\frac{2}{3}$ thì AM ⊥ BN.

Bài 65 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC và G là trọng tâm tam giác. Với mỗi điểm M, chứng minh MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC².

Lời giải:

Ta có: MA² + MB² + MC² = ${\overrightarrow{MA}}^2+{\overrightarrow{MB}}^2+{\overrightarrow{MC}}^2$

= ${\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)}^2$

= ${\overrightarrow{MG}}^2+2.\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GA}+{\overrightarrow{GA}}^2+{\overrightarrow{MG}}^2+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GB}+{\overrightarrow{GB}}^2$

$+{\overrightarrow{MG}}^2+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GC}+{\overrightarrow{GC}}^2$

= $3{\overrightarrow{MG}}^2+\left({\overrightarrow{GA}}^2+{\overrightarrow{GB}}^2+{\overrightarrow{GC}}^2\right)$

$+\left(2.\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GB}+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GC}\right)$

= $3M{G}^2+\left(G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2\right)+2.\overrightarrow{MG}\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)$

= $3M{G}^2+\left(G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2\right)$ .

Bài 66 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Một máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ 650km/h thì gặp luồng gió thổi từ hướng đông bắc sang hướng tây nam với tốc độ 35km/h. Máy bay bị thay đổi vận tốc đầu khi gặp gió thổi. Tìm tốc độ mới của máy bay (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị km/h).

Lời giải:

Gọi $\overrightarrow{v_0}$ là vận tốc của máy bay, $\overrightarrow{v_1}$ là vận tốc của gió.

Khi đó ta có: $|\overrightarrow{v_0}|=650$, $|\overrightarrow{v_1}|=35$, $\left(\overrightarrow{v_0};\overrightarrow{v_1}\right)=45°$

Tốc độ mới của máy bay là $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_0}+\overrightarrow{v_1}$

⇔ ${\overrightarrow{v}}^2={\left(\overrightarrow{v_0}+\overrightarrow{v_1}\right)}^2$

⇔ ${\overrightarrow{v}}^2={\overrightarrow{v_0}}^2+2\overrightarrow{v_0}.\overrightarrow{v_1}+{\overrightarrow{v_1}}^2$

⇔ ${\overrightarrow{v}}^2={650}^2+2|\overrightarrow{v_0}|.|\overrightarrow{v_1}|.\cos \left(\overrightarrow{v_0};\overrightarrow{v_1}\right)+{35}^2$

⇔ ${\overrightarrow{v}}^2={650}^2+\mathrm{2.650.35.}\cos 45°+{35}^2$

⇔ ${\overrightarrow{v}}^2\approx 455898,4$

⇔ v = 675,2 km/h.

Bài 67 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho góc nhọn α. Biểu thức (sinα . cotα)² + (cosα . tanα)² bằng:

A. 2.

B. tan²α + cot²α.

C. 1.

D. sinα + cosα.

Lời giải:

Đáp án đúng là C

Ta có: (sinα . cotα)² + (cosα . tanα)²

= (sinα. $\frac{\text{cos}\alpha }{\sin \alpha }$)² + (cosα. $\frac{\text{sin}\alpha }{cos\alpha }$)²

= cos²α + sin²α

= 1.

Bài 68 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho các vectơ . Phát biểu nào sau đây là đúng?

A.$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.|\text{cos}\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)|$ .

B. $|\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.\text{cos}\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)$.

C. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.\text{sin}\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)$.

D. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.\text{cos}\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)$.

Lời giải:

Đáp án đúng là D

Với $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$ ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.\text{cos}\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)$.

Bài 69 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Biểu thức $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CD}$ bằng:

A. CD².

B. 0.

C. $\overrightarrow{0}$.

D. 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CD}.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\right)$

$=\overrightarrow{CD}.\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}\right)$

$=\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{0}=0$

Bài 70 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho góc nhọn α. Biểu thức tanα . tan(90°– α) bằng:

A. tanα + cotα.

B. tan²α

C. 1.

D. tan²α + cot²α.

Lời giải:

Đáp án đúng là C

tanα . tan(90°– α)

= tanα . cotα

= 1.

Bài 71 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho α thỏa mãn $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ . Tính cosα, tanα, cotα, sin(90° – α), cos(90° – α), sin(180° – α), cos(180° – α) trong các trường hợp sau:

a) 0° < α < 90°;

b) 90° < α < 180°;

Lời giải:

Ta có: ${\sin }^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$

⇔ ${\left(\frac{3}{5}\right)}^2+co{s}^2\alpha =1$

⇔ $co{s}^2\alpha =1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2$

⇔ $co{s}^2\alpha =1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$

⇔ $cos\alpha =\frac{4}{5}$ hoặc $cos\alpha =-\frac{4}{5}$

a) Vì 0° < α < 90° nên $cos\alpha =\frac{4}{5}$

⇒ $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{cos\alpha }=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{4}$

⇒ $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}$

Áp dụng công thức lượng giác của hai góc bù nhau, ta được:

sin(90° – α) = cosα = $\frac{4}{5}$;

cos(90° – α) = sinα = $\frac{3}{5}$;

sin(180° – α) = sinα = $\frac{3}{5}$;

cos(180° – α) = –cosα = $\frac{4}{5}$.

b) Vì 90° < α < 180° nên $-\frac{4}{5}$

⇒ $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{cos\alpha }=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}$

⇒ $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{-\frac{3}{4}}=-\frac{4}{3}$

Áp dụng công thức lượng giác của hai góc bù nhau, ta được:

sin(90° – α) = cosα = $-\frac{4}{5}$;

cos(90° – α) = sinα = $\frac{3}{5}$;

sin(180° – α) = sinα = $\frac{3}{5}$;

cos(180° – α) = –cosα = $-\left(-\frac{4}{5}\right)=\frac{4}{5}$.

Lời giải Sách bài tập Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ Cánh diều hay khác:

• Giải SBT Toán 10 trang 105 Tập 1

• Giải SBT Toán 10 trang 107 Tập 1

• Giải SBT Toán 10 trang 108 Tập 1

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 10 Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác

• SBT Toán 10 Bài 3: Khái niệm vectơ

• SBT Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

• SBT Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ

• SBT Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải SBT Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---